巧借联想法破解数学问题

◇ 山东 龙鸣雁

(作者单位:山东省荣成市第三中学)

联想是一种重要的思维方式.在数学学习中,通过联想不仅能构建系统的知识网络,而且能在解题中及时找到思路,将其运用于高中数学解题中,有助于攻克有难度的习题,提高解题效率.

1 接近联想

为使学生灵活运用接近联想解答数学习题,教师在课堂上要多给予学生引导,使其在学习新知识时积极联想与之相似的知识点,构建系统的知识网络体系.通过相关例题的讲解,提高学生运用接近联想解题的意识,养成运用接近联想解题的良好习惯.

例1已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数,当x＜0时,f(x)＝(x＋1)ex,则对任意的m∈R,函数F(x)＝f(f(x))－m 的零点个数至多有( ).

A.3个 B.4个 C.6个 D.9个

本题要求函数的零点个数,根据经验可运用接近联想,考虑函数图象的交点并进行解答.根据已知条件,当x＜0 时,f(x)＝(x＋1)ex,则f′(x)＝(x＋2)ex,当x＜－2时,f′(x)＜0,f(x)单调递减;在－2＜x＜0时f′(x)＞0,f(x)单调递增.且x→0时,f(x)→1.

又因f(x)为奇函数,f(0)＝0,当x＜－1 时,f(x)＜0,绘制f(x)的图象,如图1.设t＝f(x),则f(t)＝m.由图象可知,当－1＜t＜1,方程f(x)＝t至多有3个根.当t∉(－1,1),方程无实根.

对于任意的m∈R,方程f(t)＝m 至多有1 个根,因此,满足题意的零点个数至多有3个,故选A.

图1

2 类似联想

类似联想顾名思义指由一个事物想到与之具有相同之处的事物.运用类似联想可解答高中数学中一些较为新颖的题目.这类新颖的习题,在解题思路上与学生所学的常规解题思路较为类似,因此遇到这类问题时应引导学生仔细阅读题干,运用类似联想积极回顾所学的解题方法,实现顺利解题.

例 2对 于 数 列 {an},定 义 Hn＝的“优值”.如果某数列{an}的“优值”Hn＝2n＋1,记数列{an－kn}的前n 项和为Sn,若Sn≤S5对任意的n(n∈N∗)恒成立,则k的取值范围为________.

由给出的新定义,可类似联想数列中an＝Sn－Sn－1求出数列{an}的通项公式,即由

①－②得an＝2n＋2(n≥2),当n＝1,a1＝4时符合上式,则an－kn＝(2－k)·n＋2,又Sn≤S5,则a5≥0,a6≤0,解得即k 的取值范围为

3 对比联想

对比联想指对于性质特点相反的事物的联想,借助对比联想进行解题,不仅有助于理解题意,而且能显著提高解题效率.

例3从4台甲型和5台乙型计算机中,任取3台,其中至少要有甲型与乙型计算机各1台,则不同的取法有( )种.

A.140 B.80 C.70 D.35

解答本题时,如果从常规角度进行分析不易理解,求解难度较大,因此,可运用对比联想,从问题的反面进行思考.题干中“至少要有甲型与乙型计算机各1台”的反面为“只取一种型号的计算机”.其中总的取法有种,只取甲型计算机的方法有种,只取乙型计算机的方法有种,因此满足题意的取法有种,故选C.

联想法是一种重要的解题方法,包括接近联想、类似联想、对比联想等.教学中,为使学生借助联想法迅速找到解题思路、提高解题效率,需要为学生讲解联想法在解题中的具体运用,使学生积累相关的运用经验,掌握联想法的适用题型,根据题干创设的具体情境加以灵活运用.