基于生存分析与极大似然法的可靠性评估

戴 怡，刘 琴

(1.天津职业技术师范大学 机械工程学院，天津 300222；2.天津职业技术师范大学 理学院，天津 300222)

0 引言

国家“高档数控机床与基础制造装备”科技重大专项2016年提出，我国数控机床平均无故障工作时间(Mean Time Between Failures，MTBF)要达到2 000 h[1]，然而如何评估MTBF值是一个难题，另外可靠性评估还是撬动市场机制的重要手段。由于评估时间和评估成本的限制，可靠性评估试验一般都是截尾的，即数学家们定义的“删失数据”。 严格来说，MTBF是数控机床无故障工作时间的数学期望，其与数控机床失效概率密度密切相关，文献[2-6]指出数控机床的失效概率密度多为Weibull分布；文献[7-8]对失效概率密度为指数分布的截尾情况进行了系统地理论阐述；文献[9]为基于指数分布且为定时截尾情况下的国家标准。然而，以上文献对于复杂分布的截尾情况(一般是非指数分布)缺少相应的理论阐述，直到出现生存分析理论。生存分析是近三、四十年发展非常迅速的数学学科，1986年美国国家科学委员会提出的数学发展概况中将生存分析列为六大发展方向之一。在生存分析方面，乘积限估计(1958年)[10]、弱收敛理论(1974年)[11]、大样本理论(1980年)[12]、渐进正态收敛理论(1983年)[13]和均值型泛函估计理论(2002年)[14]等，使生存分析理论体系更加坚实和完善，并显示出强大的生命力。因此，对于复杂分布下截尾情况的数控机床可靠性，研究其基于生存分析的可靠性评估方法非常有意义。

极大似然法是一个对统计模型普遍适用的估计方法，似然估计的思想虽然简单，但是十分深刻。文献[15]给出了截尾情况下的似然函数；文献[16]指出，随机截尾情形下的Weibull分布参数在非常大的样本下具有相合性。由于生存分析方法与极大似然法是目前处理截尾数据屈指可数的几种有效方法中的两种，为了对比两种方法的优劣，并选择适合有替换定时截尾试验的评估方法，本文将分别进行基于生存分析与极大似然法的可靠性评估，并进行对比研究。

1 截尾试验模型

截尾寿命试验有随机截尾、有替换定时截尾、无替换定时截尾、有替换定数截尾和无替换定数截尾5种典型形式，图1和图2所示分别为随机截尾模型和有替换定时截尾模型，图中：t0为定时截尾时间；字母A，B，C，D，E，F，G表示样本(如数控机床)；符号“×”表示失效。图1中样本进入试验的时间是随机的(一般不同)，样本发生失效的时间也是随机的；图2试验过程中，样本失效后马上替换新样本进行试验，试验开始时间与结束时间为已知和共同的。

在5种可靠性截尾试验模型中，有替换定时截尾试验模型最适合描述现场跟踪试验。因为现场可靠性试验范围广、时间长，基层工作人员对完全把握故障(或失效)的判断情况存在难度，因此定数截尾试验风险相对较大，而且考虑到可靠性试验应尽量与企业生产合拍，以降低试验成本，有替换试验模型更合适，所以有替换定时截尾试验模型是本文研究的重点。本文研究的数控机床有替换定时截尾寿命试验模型如图3所示。图中假设有n台机床进行可靠性试验，当某台机床发生故障时立刻进行维修，且修旧如新；每台机床的工作时间(如x1,1，x1,2)和维修时间(如d1,1，d1,2)依次发生；n台机床中某一台机床发生故障的次数是随机的，一般情况下不同；第1台至第n台机床发生故障的次数分别为J1,J2,…,Jn。根据文献[17-18]的研究，平均维修时间是一个较小的数值，简便起见，本文在有替换定时截尾试验模型中忽略维修时间d1,1，d1,2，…。

2 随机截尾试验模型与有替换定时截尾试验模型之间的关系

生存分析与极大似然法主要研究随机删失模型。如上所述，本文认为有替换定时截尾模型适合现场跟踪可靠性试验。为了应用生存分析与极大似然法，需要找出两个模型之间的关系，即有替换定时截尾模型是否属于随机截尾这一大类模型。

图4所示为n台机床的有替换定时截尾试验模型，图中为了简化问题忽略了维修时间。因为总截尾时间t0在试验前设定，所以截尾变量Ci,1=Ci,2=…=Ci,j=Cn,1=t0；第i台机床的工作时间为Ti,1,…,Ti,j,…,Ti,Ji，其相应的截尾变量为Ci,1，…，Ci,j，…，Ci,Ji；用T1，J1，…，Ti,Ji，…，Tn,Jn分别表示第1，…，i，…，n台机床最后一个工作时间(寿命)的数据，且为截尾数据；前面的数据，如T1,J1-1,…,Ti,Ji-1,…,Tn,Ji-1等为完全失效数据。

第i台机床寿命变量与截尾变量之间的关系为：

(1)

经变换得到：

(2)

当这些数控机床寿命数据T1,T2，…,Tn相互独立且服从某分布时，其截尾变量C1，C2，…，Cn也相互独立并服从与Ti分布有关的某分布，Ti与Ci的关系类同于生存分析中定义的Ti与Ci之间的关系(详见3.1节和式(3))。因此，有替换定时截尾模型可以认为隶属于随机截尾模型之大类，有替换定时截尾数据可以应用生存分析或极大似然法计算其平均寿命。

3 生存分析模型及其平均寿命积分

3.1 乘积限估计

设T1,T2,…,Tn是非负独立同分布且表示寿命的随机变量，其分布函数记为F；C1,C2…,Cn为非负独立同分布且表示删失的随机变量，其分布函数记为G；在随机删失模型中，不能完全观察Ti，仅观察到

Xi=min(Ti,Ci),δ=I[Ti≤Ci];

i=1,2,…,n。

(3)

式中：I[·]表示示性函数，δ包含了删失信息。观察到的数据对为(Xi,δi),i=1,2,…,n，设X(1)

(4)

3.2 平均寿命积分

若数控机床失效分布服从分布函数F, 则其生存函数S(x)=1-F，数控机床平均寿命

(5)

(6)

(7)

式中Mn小于但趋于。Susarla等[12]证明，在一定条件下，正态渐进收敛于

由于“小散弱”的行业基本状况没有根本改变，这也衍生了很多问题。李殿平表示，这主要集中在三个方面，即信息化发展水平相对较低、综合服务能力较弱、假冒伪劣农资依然泛滥。

在乘积限定义中，X(1)

4 基于生存分析与极大似然法的可靠性评估

4.1 数控机床可靠性模拟实验及截尾数据

因为数控机床可靠性试验成本高、耗时长，可靠性试验数据全部来自现场试验不现实，而文献[2-6]已给出数控机床大致的失效分布规律，所以可以进行数控机床模拟试验。另外，模拟试验还可以得到MTBF真值，有助于分析评估方法的优劣。试验样本无限增多可以反映评估方法最本质的特性，而这正是以概率统计理论为指导的一类分析方法——蒙特卡洛方法的优点。

本文模拟试验假设数控机床失效服从Weibull分布，用MATLAB软件产生服从Weibull分布的n行m列随机数(Xi,j)n×m，其中每一个数表示数控机床一个完整的无故障工作时间，即一个完全失效数据。然后根据有替换定时截尾运行机制，按流程图(如图5)产生有替换定时截尾模拟试验数据[19]。需要说明的是，该流程图产生的n行失效数据，每行最后一个为截尾数据。

4.2 基于生存分析与极大似然法的数控机床MTBF值的区间估计

假设数控机床失效的故障数据服从尺度参数α=1 500 h、形状参数β=1.2的Weibull分布，即MTBF的真值为1 411 h，参加试验的机床数为50台，进行如下模拟仿真试验和计算，结果如表1所示：

(1)确定试验总截止时间t0=1 000，1 500，2 000，2 500，3 000，3 500，4 000，4 500，共计8种截尾方案，其中单位为h。

(2)对每一种截尾方案产生200组服从Weibull(1.2，1 500)的完全失效数据，然后按照图5流程进行相应地截尾，产生有替换定时截尾试验数据，每组含50个截尾数据和数量不等的完全失效数据。

(3)应用生存分析平均寿命积分公式，计算每一组数据的MTBF值，并得到其点估计。对计算结果进行统计分析，统计出点估计值在区间(1 211，1 611)上覆盖MTBF真值的概率p，列于表1第2行，p即为一般可靠性评估含义的置信概率。

(4)应用极大似然法计算每一组数据的MTBF值，并得到其点估计。对计算结果进行统计分析，统计出点估计值在区间(1 211，1 611)上覆盖MTBF真值的概率p，列于表1第3行，p即为一般可靠性评估含义的置信概率。

(5)将每种截尾方案截尾数据所占的比例列于表1的第4行。

由表1可见，随着总截尾时间t0从1 000 h递增到4 500 h，基于生存分析评估方法，其置信概率从0%提高到97.5%，截尾比例从50%～75%降低到22%～29%，但在截尾时间为1 000 h～3 000 h时，置信概率比较低，不超过68.5%。

表1 截尾时间为1 500 h～4 500 h下两种方法覆盖真值的概率

另外，随着截尾时间t0从1 000 h递增到4 500 h，应用极大似然评估方法，其置信概率从43.5%提高到94%，在截尾时间为1 000 h～30 00 h，置信概率从43.5%增加到88%，但在3 000 h后，置信概率增加得不明显。

5 结束语

有替换定时截尾试验是产生删失数据(或称截尾数据)的重要方式之一。生存分析是近几十年专门研究删失数据的理论，然而本文的仿真结果却显示，在通常的试验时间区间，极大似然法的评估结果优于生存分析，这样意外的结果提示需审慎对待生存分析的适用场合。

本文得出如下结论：

(1)当MTBF真值为1 411 h，有替换定时截尾试验的试验时间为MTBF真值的1.4～2.5倍时，基于极大似然法的可靠性评估置信概率为82.5%～91.5%，明显高于生存分析方法的0.5%～79.5%。提示在可靠性评估的工程实践中，当试验时间是平均寿命的1.5～2.5倍的情况下，极大似然评估结果优于生存分析方法。

(2)当试验时间为MTBF值1.5～2.5倍时极大似然法优于生存分析的结论，是通过仿真方法得到的，尚缺乏系统的理论分析。但由于传统的统计理论基本上是基于大样本理论的，新的隶属于智能方法面向有限样本的统计学习理论，或可以有所作为。

(3)有替换定时截尾寿命试验适宜这样一些可靠性评估：①教科书式试验难以组织，需要结合工程实际抽象模型;②故障判断有一定难度，且对评估结果关系重大;③试验对象的寿命不是特别大，以至于难以评估，尤其是试验时间为平均寿命1.5～2.5倍的情况。