关注特例 有效转化“特殊”与“一般”——从2020高考数学若干题谈起

广东省深圳外国语学校龙华高中部(518110) 吴惠玲

特殊与一般的思想方法一直深受数学教育的重视.《普通高中数学课程标准(2017年版)》明确提出逻辑推理素养——六大数学核心素养之一,逻辑推理包含从特殊到一般的推理以及从一般到特殊的推理,前者主要涉及归纳和类比形式,后者主要指演绎形式[1].其次,特殊与一般的思想方法属于三大数学基本思想之一——推理的范畴.数学基本思想有助于数学自身的产生与发展,也是数学学习者应当具备的基本思维特征[2].再者,积累数学基本活动经验也需要经历归纳推理和演绎推理的过程[3].因此,发展学生的特殊与一般思想,对积累数学基本活动经验、落实数学核心素养的培养,尤其对逻辑推理的思维品质和关键能力无疑具有重要意义.

一、特殊与一般思想是什么

特殊与一般的思想是包含特殊化和一般化,这两个是相反的过程.波利亚提到,“特殊化是从对象的一个给定集合,转而考虑那包含在这集合内的较小的集合”,一般化则与之相反[4].无论是特殊化还是一般化,都涉及特殊情形的考虑.特殊化时,从给定的大集合里,如何选择其中特殊元素作为详细考虑的对象;一般化时,如何选择特殊情形,作为分析一般情形的依据和基础.特殊情形的认识角度是多样的,例如,极端的、起主导作用的、有代表性的、可类比的[4].关于类比在特殊与一般思想的转化,郭玉峰等结合数列大题进行展开[5].本文将结合2020年的高考数学题,分析其他特殊情形,体会“特殊性”与“一般性”.

二、如何寻找有用的特殊情形

2020年全国卷和新高考卷也多次渗透了特殊与一般的思想方法.当然,也可用其它的数学思想方法解决问题,本文重点是如何运用特殊与一般思想分析高考题.2020年全国Ⅰ卷的第20 题解析几何,第21 题函数与导数综合,全国ⅠⅠⅠ卷第17 题数列,新高考(山东)第21 题函数与导数综合等试题,它们的知识背景是学生熟悉的,也是常见的,但要在有限的答题时间内完成,仍有一些难度.若能运用特殊与一般的思想方法,可以增强题目的方向感,尽量减少未知的事物,看清题目的内在联系.可见,特殊与一般思想方法不是具体的数学知识,而是对数学本质的认识方式,特别的,当遇见一个陌生的问题,能够自主观察分析特例的相关性质,并推广到包含这特例的一类事物也具有同一性质,这是有效的途径,符合学生认知新事物的规律.

下面,将根据具体题目进行分析.

(一)“一般化”的典型例题

例1(2020年高考全国Ⅰ卷理科第20 题)已知A、B分别为椭圆E:+y2=1(a ＞1)的左、右顶点,G为E的上顶点,=8,P为直线x=6 上的动点,PA与E的另一交点为C,PB与E的另一交点为D.

(1)求E方程;

(2)证明: 直线CD过定点.

学生可能存在的困难证明直线CD过定点,也即求出具体的定点.这是求定点问题,学生平时肯定遇见过这类问题,按部就班的做法即可,设P(6,t),则点列出直线CD的方程化简得到点斜式在考场上,直接求定点要求学生具备较强的数学运算能力,探索某个未知问题的难度往往比证明某个已知结论的难度大.学生对于某个问题没有全局的认识,容易盲目求解,倘若能够事先对问题有大概了解,知道问题的一些内在联系,将有助于快而准地解决问题.

图1

教学思路解析运用特殊与一般思想方法克服上述困难.由(1)知,椭圆E为+y2=1.第(2)问,从特殊情形出发,先分析直线CD有何特点,能否推理猜测定点是什么.直线CD是动态的,随点P的变化而变化.P为直线x=6 上的动点,这是P点的一般性,关键在于如何寻找特殊情形.在直线x=6 上取两次P点,为避免混淆,分别记为P1,P2.如图1,情形①:P1(6,0),由于此时的直线CD为直线AB,所以直接用直线AB表示;情形②:P2为直线x=6 上除(6,0)外的任意一点,设P2(6,t)(t/=0),作出直线CD.也即定点既在直线AB上,也在直线CD上,那么这两条直线的交点就是定点F,也即定点在x轴上.写出直线CD方程后,直接令y=0,求出

“特殊化”的思维过程不需要体现于解答的书写中,但是学生必须明白,为什么直接令y=0.因此,在教学过程中,学生要经历寻找特殊情形的过程,这是非常关键的一步.那么,如何在诸多特殊情形中选择呢? 有代表性的特殊情形可以更加厘清思路,看清问题的本质.例如,上述的特殊情形,若P1也是任意取的,那么由P1,P2分别得到的两条直线CD,便于区分,记为C1D1,C2D2,画草图时,其交点的位置准确性不高,从而猜测定点的位置变得困难.当然,特殊情形的寻找也非一日之功,日常数学学习中需多加体验与练习.例2 也是运用特殊到一般思想方法的典型例子.

例2已知椭圆C:=1(a ＞b ＞0)经过点M(2,1),其离心率是直线l:y=+m(m ＜0)交椭圆C于A,B两点.

(Ⅰ)求椭圆C的方程;

(ⅠⅠ)求ΔMAB内切圆圆心的横坐标.

学生可能存在的困难如何利用ΔMAB内切圆圆心的相关几何性质,并代数化? 三角形内切圆圆心是内心,几何性质有: 三角形内角平分线的交点,内心到三边的距离相等.常规的做法是,设内心坐标为(x0,y0),求出三边所在直线的方程,利用点到直线的距离公式表示d1,d2,d3,其中d1,d2,d3分别为(x0,y0)到直线MA,MB,AB的距离.再根据d1=d2=d3,求解x0.这种做法理论可行,但实际操作困难.

思路解析第(ⅠⅠ)问,运用特殊与一般的思想方法,若能猜出内切圆圆心的横坐标,那么证明横坐标的数值比直接求横坐标简单,学生有方向和目的,而不是盲目运算.如何猜测内心的横坐标? 这是关键! ΔMAB内心的动态变化来源于直线l(如图2),特殊情形很多,例如l过椭圆的右顶点,这是最有利于猜测内心横坐标的特殊情形吗? 解答过程发现,仍有较大的运算量.

不妨考虑直线l的另一种特殊,即极端情形: 与椭圆相切,如图3.此时l:y=−2,切点的横坐标为2,ΔMAB退化成一条线段,可猜想ΔMAB内切圆圆心的横坐标为2,即∠AMB的角平分线所在的直线为x=2,与x轴垂直,转化为代数语言,证明kAM+kBM=0.

图2

图3

例1 和例2 都体现一般化的思维过程,分别观察分析有代表性和极端的特殊情形.虽然寻找特殊情形的过程以及猜想的过程不需要体现于解答过程中,但对于解答过程的思路有明显的导向作用.

例3(2020年高考全国ⅠⅠⅠ卷理科第17 题)设数列{an}满足a1=3,an+1=3an −4n.

(1)计算a2,a3,猜想{an}的通项公式并加以证明;

(2)求数列{2nan}的前n项和Sn.

题目解析此题明显体现了特殊与一般的思想方法,观察分析a1,a2,a3,··· ,的值,猜想an.由于a1=3,a2=5,a3=7,特点非常明显,可以快速猜测an=2n+1.

在平常训练中,可以对题目的问法稍加改动,第(1)问改为: 求an.学生发散思维,可以递推公式变形为an+1−2(n+1)−1=3(an −2n −1),得到an−2n−1=0.这要求学生有较高的等式变形能力.另一种较为迅速的做法即运用特殊与一般思想,归纳推理得到an.教师可以和学生探索多种方法、看问题的多种视角,比较不同思想方法的适用性.

(二)“特殊化”的典型例题

例4(2020年高考全国Ⅰ卷理科第21 题)已知函数f(x)=ex+ax2−x.

(1)当a=1 时,讨论f(x)的单调性;

(2)当x≥0 时,f(x)≥+1,求a的取值范围.

题目解析第(2)问的函数构造有多种方法,例如,1○g(x)=ex+ax2−x −−1,从而当x≥0 时,g(x)≥0 恒成立; 2○g(x)=当x≥0时,g(x)≤1 恒成立; 3○g(x)=当x≥0 时,g(x)≥a恒成立.情形①可以运用特殊与一般的思想,情形②需运用分类思想,情形③对g′(x)因式分解的要求较高.

现详细探讨情形①.首先估计a的取值范围,有

解(1)略.(2)依题意,得f(2)≥5,有a≥

令g(x)=ex+ax2−x −−1,(x∈[0,+∞)).以下证明,当a≥时,有g(x)≥ 0 成立.显然g′(x)=ex+2ax−−1,由于ex≥1+x+所以

例5(2020年高考山东卷理科第21 题)已知函数f(x)=aex−1−lnx+lna.

(1)当a=e 时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;

(2)若f(x)≥1,求a的取值范围.

解(1)略.(2)因为f(x)≥1,所以f(1)=a+lna≥1.设g(x)=x+ lnx,g′(x)=1 +＞0,g(x)在(0,+∞)上单调递增,又g(1)=1,则当0＜x ＜1 时,g(x)≤1;x≥1 时,g(x)≥1,因此,若f(x)≥1,一定有a≥1,又f′(x)=aex−1−易知f′(x)在(0,+∞)上单调递增,因为(a −1)＜0,所以存在唯一x0＞0,使得f′(x0)=aex0−1−=0,且当x∈(0,x0)时,f′(x)＜0;当x∈(x0,+∞)时,f′(x)＞0,且有lnx0=−lna −x0+1,因此

所以f(x)≥1 恒成立,从而a∈[1,+∞).

例4 和例5 均是“特殊化”过程的体现.解题过程中,对a的范围一无所知,可以取几个较为简单的特殊情形,快速缩小a的取值范围,减少分类讨论;同时借助缩小的范围,推理出正确的取值范围.

三、教学建议——关注特例,实现特殊化和一般化

从2020年高考数学若干题的解答思路谈起,分析如何运用特殊与一般思想,体现选择特例的重要作用,实现关键的“一般化”和有效的“特殊化”.为此,呼应高考数学落实数学思想方法,以下两方面值得关注:

(一)数学教学中,应有目的、有计划渗透特殊与一般思想

特殊与一般思想不是具体的数学知识,而是承载于数学内容中,对数学本质的认识,最终目的是使学生获得简化问题或解决未知的能力.现今,数学核心素养的研究与落实进行得如火如荼,数学最重要的价值是数学最终能培养和提高普通群众在社会中的素质[6].因此,数学教师在教学过程中应有目的地渗透特殊与一般思想,让其成为解决新问题、适应新情境的一种思想和工具,而不是干巴巴的知识点.

在日常数学教学中,也应当计划地渗透特殊与一般思想,而不是等到高三总复习时再提及可以用“特殊化”和“一般化”的方式解题.因为特殊与一般思想的构建经历潜意识、明朗和形成、深化三个阶段.[7]这是从接触特殊与一般思想,到内化运用的过程.本文只结合了解析几何、数列和导数问题进行分析,在其它数学知识上也可以渗透,例如简单几何体的体积.棱台的体积公式是其中S′,S分别为棱台的上、下底面面积,h为棱台的高.对其进行“特殊化”处理,棱台上底面面积为0 时,棱台退化成棱锥,也即当棱台上、下底面面积相等时,棱台变成棱柱,也即V=Sh.这是学生非常熟悉的棱锥和棱柱的体积公式.同样的,圆台的体积公式也可以“特殊化”处理.“特殊化”不但能够让学生联系已学知识,还能对新知识加深印象.

此外,教学中一般函数与指对幂函数、周期函数与任意三角函数、一维与多维、实数与复数等相关知识也可渗透特殊与一般思想,建立新旧知识的联系,构建良好的认知结构,丰富学生对特殊与一般的体会与理解.

(二)引导学生寻找合适的特例,有效实现“特殊”与“一般”的转化

特例的寻找不是随意的,需要经过思考和选择.无论是特殊化还是一般化,都面临着特例的选择.合适的特例,让特殊化的意义更加明显,能让一般化的方向更为准确.本文结合具体的例题,分析特例的一些情形,例如有代表性的、极端的、简单的等等.无论是何种特例,目的都是让问题的本质更加清晰,让问题的解决变得更加简单.特例选择如何才算合适,没有固定的说法,依赖于学习者自身的学习和认知经验.因此,需要多次练习,多观察研究对象的特例.

总之,数学教学中应注重特殊与一般的思想方法,这对于认识新情境新问题具有重要作用,培养学生解决问题的能力.特殊化涉及一般情形下如何找到有用的特殊情形,一般化涉及如何寻找合适的特殊情形才有利于推广到一般,二者都强调特殊情形的作用,因此寻找特殊情形也是教师和学生共同探索和体会的.