圆锥曲线经典教学案例分析与研究

（大连市交通口岸职业技术学校 大连交通技师学院，辽宁 大连 116011）

根据“立德树人”的人才培养目标要求，体现以“服务为宗旨，就业为导向”，基于知识目标定位于理解椭圆、双曲线、抛物线的定义标准方程和性质、能力目标定位于能从生活专业实例中抽象出椭圆、双曲线、抛物线的模型、并会解决实际应用问题，提升数学建模的能力、素养目标定位于通过圆锥曲线的图像归纳性质进一步掌握属性结合思想方法，通过小组讨论解决与圆锥曲线相关应用题，养成团队协作的意识。

一、经典教学案例赏析

经典教学案例（一）

1.生活与专业情境创设

以贴近生活和专业岗位的实例作为教学素材，通过AR 视觉感受与双曲线相关的无线电导航定位系统，播放热电厂建造冷却塔的视频，通过AR 视觉感受汽车主减速器中运用的是准双曲面齿轮的传动原理。

2.问题引领，形成概念

通过实验一拉链法画出双曲线图像和实验二利用几何画板绘制双曲线图像直观感知双曲线曲线的形成过程，进而通过以上情境创设教师给出问题（1）在画双曲线的过程中，拉链的两端的位置是固定的还是运动的？（2）在画双曲线的过程中，拉链的两端长度之差变了没有？ 说明了什么？（3）在画双曲线的过程中，拉链的两端长度之差与两定点间距离有怎样的关系。进而得出双曲线的定义。

3.应用举例，巩固新知

案例题目：已知双曲线型冷却塔的建模图形如下，焦距为10，双曲线上的点到两个焦点的距离之差为8，求该数学建模下冷却塔的标准方程。

生活探究：利用双曲线相交测定位置的无线电导航系统，由发射台（岸台，至少3 个）和接收台（汽车上的接收台）组成。形成双曲线的几何原理是：到两个固定点距离差为常数的动点的轨迹，是以这两个固定点为焦点的双曲线，平面上两条双曲线就可确定一点。

经典教学案例（二）

1.生活情境创设

首都北京为什么会变“放射环形”交通结构为“双曲线”式？在北京市域内，构建通过式（by-pass）的快速交通走廊，组织交通枢纽，创造“双曲线”式交通轴，作为沟通市域大动脉，缓解城市交通向中心的聚焦。也就是说，机动车辆尽可能在三环、四环外面行驶，避免公路车流向北京中心城区聚集。双曲线交通结构可缓拥堵

双曲线型冷却塔不仅结构稳定、强度大，且造型美观体现了双曲线的对称美。

2.实验探究新知

学生以小组为单位，借助几何画板，类比椭圆归纳得出双曲线的性质与研究方法，探究双曲线的对称性、顶点、实轴、虚轴。进而在情境创设下探究新知。

3.生活实例应用

通过贴近汽车专业的问题已知汽车主减速器中的是准双曲面齿轮的情境创设，进而引领案例的实际应用性。借助天文望远镜的反向虚聚焦原理，原理提到双曲线绕实轴旋转一周形成一个旋转双曲面。从旋转双曲面的一个焦点发射的光线，经过旋转双曲面的反射，会使得光线散开，双曲线的这种反向虚聚焦的性质，在天文望远镜的设计中有着重要的应用。

二、案例的反思与改进

以学生的发展为本，关注知识的形成、发展过程，重视学生对解析几何一般研究方法的理解和领悟，促进学生学习活动中的深层次的数学思维参与，把学生思维能力的培养，良好学习习惯的培养渗透在教学的活动之中。

我们在本课程的设计与实施过程中，与专业课对接，教师扩展知识面，不断学习，找到更多学生感兴趣的对接内容。基于情境创设专业化：通过汽车双作用叶片泵、准双曲面齿轮、汽车前照灯轴截面等专业情境导入，激发学习兴趣和职业自豪感，感受数学在生活与专业中的应用价值。实现课堂教学信息化：借助几何画板、GeoGebra 软件、智慧教室、UMU 学习平台等，帮助学生直观形象的理解抽象概念。引导学生突破知识形成自主化：遵循“学生主体，教师主导”的教学理念，通过实践、探索、归纳学生自主活动，经历知识的产生过程，提升数学思维能力。更新教学以及教学手段创新，采用混合式教学模式，线上自学线下互动利用信息平台，采取任务驱动法、实验探究等多种教学方法，有效达成了各项教学目标，突破重难点。

需要改进的从教学形式来看，小组合作探究体现了学生是活动的主体，通过小组间的互动、合作，使学习更有效。从教学效果来看，学生是活动的主体，通过翻转课堂这种形式增加了师生之间的互动、合作，使学习更有效率。翻转课堂对学生学习自觉性有一定要求，教师应根据教学内容、学生学情等实际情况合理选择，真正做到一切从学生出发。

三、教学案例实施成效

通过案例的分析，学生能从生活与专业中抽象出椭圆、双曲线、抛物线数学模型，并应用其解决简单的实际问题。通过数学实验和动手折纸，学生分析问题、解决问题的能力得到提升。对不同教学内容采用有针对性的教学方法，知识目标得以达成。学以致用，在文化系列素质赛中，学生积极参与画图比拼大赛、最强大脑、趣味速算等，提升了逻辑推理、数学抽象、数学运算等数学核心素养。