一类双参数Rayleigh方程的摄动增量解法

陈 章,汪海玲,李祖雄

(1.湖北民族大学 数学与统计学院,湖北 恩施 445000;2.广西师范大学 数学与统计学院,广西 桂林 541004;3.重庆三峡学院 数学与统计学院,重庆 万州 404199)

摄动增量法作为一种研究非线性振动的方法,将摄动法和增量法巧妙地结合起来,通过摄动法得到的初值,经过增量法迭代后,彻底突破了摄动法必须假设某些参数必须为小参数的局限.这个方法在1996年Chan提出来之后[1],许多专家学者对其进行了研究,应用到了各个领域,也得到了许多成果.如运用在振动系统中的半稳定极限环[2-4]和同宿异宿轨线[5-8]中,并讨论了其分岔值的计算问题.经过长时间的研究,最终实现了摄动增量法运用的一般化,如平面微分方程极限环的计算[9-10]乃至一般动力系统的极限环计算[11-12]问题,摄动增量法都可以有效的解决.同时,这些成果也证明了摄动增量法的实用性,提高了摄动增量法的使用深度和广度.

而Rayleigh方程是一类在自动化、通信工程、非线性动力系统等等领域中较为常见的非线性方程,近些年也有许多好的研究成果.张永新[13]用Brouwer不动点定理研究了一类Rayleigh方程解的有界性和周期性,康玺[14]对一类Rayleigh方程的hopf分岔进行研究,这些研究主要是针对Rayleigh方程的极限环的一些性质进行讨论，未在定量的角度对Rayleigh方程进行研究.而在一些工程实际应用上,人们更希望能得到解析表达式,黄迪双等[15]利用摄动理论和方法研究了一类Rayleigh方程的奇摄动问题,黄钰淳等[16]用多重尺度法研究了一类Rayleigh方程的奇异摄动初值问题并得到了方程的一阶渐进解,但摄动法和多重尺度法的参数必须为小参数,使用起来具有一定的限制.而运用摄动增量法来研究这类方程恰好可以解决这个问题.

1 摄动增量法

1.1 前期准备

Rayleigh方程为:

(1)

(2)

因为g(-x)=-g(x),f(-x)=f(x),所以系统(1)关于原点对称.

因此,引入时间变量:

(3)

极限环表达式可以写为:

(4)

(5)

当φ=π和φ=2π时,分别有：

(6)

(7)

1.2 摄动法

设当λ≈0时,方程(5)、(6)、(7)的解为:

a=a0+Ο(λ),μ=μ0+Ο(λ), Φ(φ)=Φ0(φ)+Ο(λ).

根据方程(5)、(6)、(7),解得:

1.3 参数增量法

当λ=λ0+Δλ时,方程(5)、(6)、(7)有解为:

a=a0+Δa,μ=μ0+Δμ, Φ(φ)=Φ0(φ)+ΔΦ(φ),

(8)

将式(8)带入方程(5)、(6)、(7),再进行泰勒展开,略去高阶项,得到增量方程:

(9)

(10)

(11)

因为Φ0(φ)是周期函数,所以可以展开成傅里叶级数形式:

(12)

通过调整M值的大小,来控制精度.同样,ΔΦ(φ)也可有傅里叶级数形式:

(13)

将方程(9)、(10)、(11)中的周期函数全部进行傅里叶级数展开,将式(12)和式(13)带入其中,可以得到一组以Δa、Δμ、ΔP2j、ΔQ2j为未知数的线性方程组:

(14)

其中n=0,1,2,…,2M+1.将得到的Δa、Δμ、ΔP2j、ΔQ2j带入得到一组新的数值,将这新的数值作为初始值再进行上述迭代,直至得到想要的结果.

表1 不同的λ对应的μ的值(算例1)Tab.1 Values of λ corresponding to different μ for example 1

2 数值模拟

2.1 算例1

现取Δλ=0.01,M=2,通过方程组(14),经过10次增量迭代后,得到的极限环解析近似解为:

由摄动增量法第一步,可以得到初始解.图1为λ=0时,用摄动增量法与数值积分法画出的对比图.图2为迭代10次后,摄动增量法与数值积分法的对比图,表1表示在对λ进行增量时,μ的值也相应变化.可以看出,摄动增量法得到的相图与数值积分法得到的相图基本重合.

图1 λ=0时极限环相图(算例1)图2 λ=0.1时极限环相图 Fig.1 The phase diagram of the limit cycle when λ=0 for example 1 Fig.2 The phase diagram of the limit cycle whe λ=0.1

2.2 算例2

现取Δλ=0.02,M=2,通过方程组(14),经过10次增量迭代后,得到的极限环解析近似解为:

0.054 84cos4φ+0.067 17sin2φ-0.009 23sin4φ)sinφ

图3为λ=0时,摄动增量法与数值积分法得到的结果对比图.图4为迭代10次后,摄动增量法与数值积分法的对比图,表2表示在对λ进行增量时,μ的值也相应变化.从以上两个例子可以看出,摄动增量法得到的相图与数值积分法得到的相图基本重合,但增量的取值大小还是会对结果产生影响.

表2 不同的λ对应的μ的值(算例2)Tab.2 Values of λ corresponding to different μ for example 2

图3 λ=0时极限环相图(算例2)图4 λ=0.2时极限环相图 Fig.3 The phase diagram of the limit cycle when λ=0 for example 2 Fig.4 The phase diagram of the limit cycle when λ=0.2

3 结语

在考虑双参数的情况下,运用摄动增量法研究了一类Rayleigh方程的极限环.通过摄动法得到方程的初始解,再经过迭代,得到了极限环的解析近似表达式.最后利用Matlab等数学软件进行数值模拟,得到较吻合的结果.此结果表明在研究此类方程的极限环时,摄动增量法是一种行之有效的方法.