旧貌换新颜，聚焦新高考———二项式定理创新题解析

■江苏省锡东高级中学 曲 婷

二项式定理是高考必考的考点，主要考查二项式展开式的项、项数、系数、指数等内容之间的联系；除了注重考查二项式定理的基本运用，与之相关的创新题型成为高考的新热点，重点考查多个知识交汇的灵活运用。

创新题型一：题目背景延伸

二项式定理在高考中多以基础题居多，因此在题目设置中会以其他知识点为背景切入，将多个基础知识融合在一起进行考查。例如：复数、数列、排列组合、概率等。

例 1（2020年日照模拟）设i为虚数单位，则（x+i）6的展开式中含x4的项为____。

解析：二项式（x+i）6的展开式的通项公式为，令6-r=4，得r=2，则展开式中含x4的项为。

点评：本题以复数知识为背景，考查二项式定理的基本应用，即利用二项式展开式的通项公式求展开式中的指定项问题。

例 2（2020年青岛模拟）已知a∈N，二项式的展开式中含有x2项的系数不大于240，记a的取值集合为A，则由集合A中的元素构成的无重复数字的三位数共有____个。

解析：二项式的展开式的通项公式为令6-2r=2，求得r=2，可得展开式中含有x2项的系数为。

根据含有x2项的系数不大于240，可得15（a+1）2≤240，求得-5≤a≤3。

再根据a∈N，可得a=0，1，2，3，即A={0，1，2，3}，则由集合A中的元素构成的无重复数字的三位数共有18（个）。

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，排列组合的应用，属于中档题。

本源：通过以上两个例题，不难发现题目背景可以有很多种，但究其根本，此类问题皆源自于“人教版教材选修2-3第一章1.3.1二项式定理例2”，其本质是考查求展开式中的指定项系数、指定项问题，要求能够正确使用二项式展开式的通项公式进行解题。

创新题型二：解题思维延伸

二项式定理是以多项式乘法原理为基础，研究n个（a+b）相乘即（a+b）n展开式的结果，在此基础上，可以利用其原理进一步研究n个（a+b+c）相乘即（a+b+c）n的结果、（c+d）（a+b）n展开式的结果等类似问题。

例 3（2020年兴宁期末）已知随机变量X～N（1，σ2），且P（X≤0）=P（X≥a），则的展开式中x4的系数为（ ）。

A.680 B.640 C.180 D.40

解析：因为随机变量X～N（1，σ2），且P（X≤0）=P（X≥a），所以a=2，代入可得，其展开式中含x4的项=40x4+640x4=680x4，所以展开式中x4的系数为680。

点评：本题考查正态分布曲线的性质，二项式展开式的通项公式，同时考查同学们的逻辑推理、数学运算等学科素养。

例 4（2020年广东二模）（x+y+2）6的展开式中xy3的系数为（ ）。

A.120 B.480 C.240 D.320

解析：把（x+y+2）6的展开式看成6个因式（x+y+2）的乘积形式，从中任意选1个因式，这个因式取x，再取3个因式，这3个因式都取y，剩余2个因式取2，相乘即得含xy3的项。故含xy3项的系数为。

点评：本题考查了排列组合与二项式定理的应用问题，是一道综合性很强的题目。

本源：这两个例题仍然是源自于“人教版教材选修2-3第一章1.3.1二项式定理例2”，例3的改编是将一个二项式展开式问题转化为两个二项式相乘的问题；例4其本质仍旧是多项式乘法原理及二项式展开式的通项公式的应用。

创新题型三：题目形式延伸

除了在题目背景和题目思维上的延伸，以考查二项式定理为主的题目形式也有新的改编。题目形式不再单一地以已知概念为背景，逐步出现借助二项式定理处理新定义问题；也不再仅仅以选择、填空题的形式出现，逐步出现融合二项式定理的解答题形式。

例 5（2020年绵阳模拟）我们把数列叫作“互为隔项相消数列”，显然an+bn∈Z。已知数列{cn}的通项公式为cn=表示不超过实数x的最大整数，则c2020除以4的余数为（ ）。

A.0 B.1 C.2 D.3

解析：由二项式定理可设其中xn，yn∈N*，由题意可得，其中xn，yn∈N*，则=（2-1）2n=1，所以。

因为xn＞1，所以即有[xn+。

点评：本题以二项式定理为背景进行新定义，根据二项式展开式的结构特征设定展开式结构，即可顺利得出答案。

本源：利用二项式定理解决整除和余数问题，是高考中的常见题型；但是大多以实数进行拆合相关数的方式借助二项式展开式的某几项来计算余数。此题中新定义了一个二项式展开式的结构特征，借助定义及类似于二项式展开式的通项公式的特征，顺利计算得出结果。

例 6（2020年青岛模拟）已知（1+x）n=a0+a1x+a2x2+…+anxn（n∈N*），的前n项和为Tn。当时，求n的最小整数值。

解析：因为（1+x）n=a0+a1x+a2x2+…+anxn（n∈N*），令x=1，可得2n=a0+a1+a2+…+an，所以Sn=a0+a1+a2+…是首项为，公比为的等比数列，故Tn=。

点评：本题主要考查二项式定理及等比数列的前n项和，是对知识的综合考查。考查了等价转化思想及数学基本运算能力。

本源：二项式系数和与数列的前n项和的求解都是高考中的常见热点问题，本题利用二者与n的关系，巧妙地将两个知识点结合在一起，目的在于考查处理数学问题的转换能力和综合能力。

题目可以是多源化的，但究其根本就是最基础的知识换个新的方式呈现；所谓万变不离其宗，无非是旧貌换新颜，抓住本质，一切便可迎刃而解。