高考全国卷二项式定理命题动向分析

■广东省汕头市澄海华侨中学 潘敬贞

二项式定理是高中数学中计数原理与多项式的概念及性质紧密联系的内容，该内容一直深受高考命题专家的青睐，一时成为高考热门考点之一，主要考查二项式展开式的通项公式，求指定项的系数等有关问题，下面针对近年来全国卷有关二项式定理的试题，分析其考查特点及高考动向透视，主要目的是帮助同学们梳理二项式定理相关的必备知识、核心考点，让同学们了解该内容的命题动向，把握好高考方向，提高备考效益。

一、试题特点分析

在多年的高考全国卷中，二项式定理都是以选择题或填空题的形式出现，试题难度不大，多数为容易题或中档题。试题主要考查二项式展开式的通项公式，包括求展开式的指定项有关问题，特别关注两个多项式乘积展开式中的指定项。年年岁岁花相似，岁岁年年题不同，试题千变万化，但考查的重心主要落在通项公式的正向与逆向的应用上。

二、考查问题分析

对近几年高考全国卷的分析可以看出，二项式定理是高考必考的内容之一，考查的题型和分值较为稳定。高考考查的问题主要围绕着二项式展开式进行提问，包括求指定项的系数、常数项、系数最大项、奇（偶）数项、部分项或所有项的系数之和等问题，尤其要关注两个二项式的积转化为二项式问题，偶尔也考查三项式展开式的指定项问题或将三项式转化为二项式问题等，在此过程中考查二项式展开式的有关概念、性质的理解和运用，考查分析问题与解决问题的能力、运算求解能力、逻辑推理能力，考查分类讨论思想，考查数学运算、直观想象、逻辑推理等数学核心素养。

三、高考透视

1.二项式展开式中指定项问题

（1）求二项式展开式中指定项的系数。

例 1（2018年全国Ⅲ卷理5）的展开式中x4的系数为（ ）。

A.10 B.20 C.40 D.80

解析：由二项式展开式的通项公式得第r+1项依据题意可令x的指数10-3r=4，得r=2，所以x4的系数为。

评注：本题主要考查二项式定理的基本概念，考查分析问题与解决问题的能力，考查数学运算核心素养等，属于容易题。

例 2（2014年全国Ⅱ卷理13）已知（x+a）10的展开式中，x7的系数为15，则。

解析：由二项式展开式的通项公式得第r+1项依据题意可令x的指数10-r=7，得r=3，所以=15x7，因此可得关于参数a的方程为。

评注：本题是逆向应用二项式展开式的通项公式列关于参数a的方程，再通过解方程即可求出参数a的值。

（2）求二项式展开式中的常数项。

例 3（2020年全国Ⅲ卷理14）的展开式中的常数项是____。

解析：由二项式展开式的通项公式得第r+1项2rx-r=Cr62rx12-3r，依据题意可令x的指数12-3r=0，得r=4，所以的展开式中的常数项为。

思考：针对“二项式展开式中指定项问题”，除了“通项公式法”，还可以用“指数分配法”。我们可以将（a+b）n展开式中的通项公式理解为第r+1项中a的指数n-r和b的指数r是由（a+b）n中的指数n分配得到的。如例1要求的展开式中x4的系数，首先需要思考怎样产生x4的项，如何将指数5分配给x2和的指数，当x2分得的指数为3和a分得的指数为2时展开式中产生x4的项，即C25（x2）3，所以x4的系数为40。

解决二项式展开式中指定项问题，通项公式法是通解，但指数分配法更灵活巧妙，达到小题快解的目的，利用指数分配法对二项式定理本质的理解及数学运算等要求比较高，只有熟练掌握二项式定理并具有较高的数学运算能力方可达到指数分配法的核心要求。

2.二项式展开式中二项式系数最大值问题

例 4（2013年全国Ⅰ卷理9）设m为正整数，（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b。若13a=7b，则m=（ ）。

A.5 B.6 C.7 D.8

解析：由二项式展开式的二项式系数的性质可得又因为13a=7b，所以解得m=6。

评注：解决本题的关键是二项式系数的性质“二项式展开式中最中间项的二项式系数最大”，同时结合13a=7b可列关于参数m的方程，再通过解方程即可求出参数m的值。

3.二项式展开式中奇（偶）数次幂项问题

例 5（2015年全国Ⅱ卷理15）已知（a+x）（1+x）4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a=____。

解析：由二项式定理得（1+x）4=1+4x+6x2+4x3+x4，所以（a+x）（1+x）4=a（1+x）4+x（1+x）4=a（1+4x+6x2+4x3+x4）+x（1+4x+6x2+4x3+x4）=a+（4a+1）x+（6a+4）x2+（4a+6）x3+（a+4）x4+x5，故（a+x）（1+x）4的展开式中x的奇数次幂项分别为（4a+1）x，（4a+6）x3，x5，其系数之和为（4a+1）+（4a+6）+1=32，解得a=3。

评注：处理此类问题的方法一般是运用二项式定理将其中一个因式展开，然后将两个乘积展开，即可得出要研究的项。

4.将两个二项式的积转化为二项式问题

例 6（2020年全国Ⅰ卷理8）的展开式中x3y3的系数为（ ）。

A.5 B.10 C.15 D.20

解析：由于要求x3y3的系数，只需分别求的展开式中x3y3的系数。要求x（x+y）5的展开式中x3y3的系数，只需求（x+y）5的展开式中x2y3的系数即可，根据指数分配法可知，当x分得的指数是2，y分得的指数是3时即可得含x2y3的项，即 C35x2y3，所以x（x+y）5的展开式中含x3y3的项为xC35x2y3，即10x3y3；同理，要求的展开式中x3y3的系数，只需求（x+y）5的展开式中x4y的系数即可，根据指数分配法可知，当x分得的指数是4，y分得的指数是1时即可得含x4y的项，即的展开式中含x3y3的项为所以的展开式中的含x3y3的项为10x3y3+5x3y3=15x3y3，所以展开式中x3y3的系数为15。

二项式定理考查的题型比较稳定，试题难度不大，多数为容易题或中档题。同学们要理解好二项式定理的本质内涵及蕴含的思想方法，熟练掌握二项式定理的通项公式正向、逆向的应用。针对考查的问题，选择典型的试题通过训练掌握好其解决的方法，从而提高数学解题能力，最终达到提高备考效率的目的。