夯实基础 提升能力———复数高考命题新动向

■河南省平顶山市第一高级中学 王 玮

作为高考必考内容，复数在历年的高考中一般都是以选择题或者填空题的形式出现，涉及的知识点较多，比如与实数、向量及其他数学分支的综合考查。2020年的高考结束后，笔者注意到全国卷对复数的考查相对往年有所变化，比如全国Ⅱ卷理科第15题对复数的考查就突破了往年既定模式，增强了同学们的思考反射弧，体现了数学迁移的思想。而且课程标准（2017年版）对复数也做了一些调整，增加了复数的三角表示，这些新的变化给新一轮的复习备考提供了新方向。让大家再次清晰地认识到，在学习复数时要更加注重概念理解的深刻性和运算的准确性，要在夯实基础的同时，注重能力的提升。

一、疑难知识导析

（1）两个实数可以比较大小，而不全是实数的两个复数不能比较大小；

（2）若z∈R，则z2≥0；若z∈C，则z2≥0不一定成立，如z=i时i2=-1＜0。

（3）若z∈R，则|z|2=z2；若z∈C，则|z|2=z2不一定成立。

（4）若z1，z2，z3∈C，由 （z1-z2）2+（z2-z3）2=0不一定能推出z1=z2=z3。

（5）若z1，z2∈R，则|z1-z2|=，但若z1，z2∈C，则上式不一定成立。

二、题型预测及易错分析

题型1：考查共轭复数及复数的运算

例 1若z=i+1，则复数对应的点在（ ）。

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

错解：从而对应的点在第二象限。故选B。

分析：上述解题过程中，共轭复数z=1-i，应该先将z=i+1改写为z=1+i的形式，再进行运算，否则容易出错。

正解：从而对应的点在第一象限。故选A。

评注：复数z=a+bi的共轭复数=a-bi，一定要注意复数的代数形式的特点。

题型2：考查复数相等问题

若两个复数相等，则两个复数的实部与实部相等，虚部与虚部相等。在解题过程中，很多同学不能同时考虑两个条件，往往只考虑实部相等或虚部相等，从而造成错解。

例 2已知x是实数，y是纯虚数，且满足（2x+1）+i=y+（y-1）i，求x与y的值。

错解：根据复数相等的充要条件可得，

分析：上述解法显然误把等式两边看成复数标准的代数形式加以求解，从而导致解题错误。

正解：由题可设y=bi（b∈R，b≠0），则原式可变为（2x+1）+i=-b+（b-1）i，根据复数相等的充要条件可得，

评注：若a+bi=c+di（a，b，c，d∈R），则有a=b，c=d。在一些复杂的式子中，必须先将式子化为a+bi的标准形式，再根据复数相等的条件求解。

题型3：考查隐含条件问题

对任何数学式子，都要强调式子有意义的条件，复数也不例外。例 3实数a取什么值时，复数z=是纯虚数？

错解：因为复数z=a2-a-6+为纯虚数，所以a2-a-6=0，解得a=-2或a=3。

分析：复数为纯虚数的条件是实部为零，虚部不为零，但同时要考虑定义域，上述解法正是忽视了这些条件，从而造成错解。

正解：复数为纯虚数，除了要满足a2-a-6=0，还要满足a2-4a+3≠0和a+2＞0，综上可知，满足条件的实数a不存在。

评注：要正确求解本题，不仅要准确了解复数的性质和运算法则，还要了解复数中实数、虚数、纯虚数成立的条件，在出现分式、根式等情况时，一定要注意式子有意义的条件。

题型4：利用轨迹法解决复数问题

四川长江职业学院学院于2017年7月获得四川省教育厅批准建设移动性生产性实训基地项目，该项目建设周期为2年，主要面向通信技术、移动通信技术、计算机网络技术、移动互联应用技术4个专业。学院依托通信行业知名企业在原有实训室的基础上，学院与企业共建“移动无线网络优化中心”一个，可容纳100人同时进行实训。经过一年多的建设，基地已基本形成企业真实工作环境与职业环境。

复数集与平面坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系，任何一个复数a+bi都可以由一个有序实数对（a，b）唯一确定。建立起这种对应关系后，很多复数问题就可以运用复数的几何意义去求解，很多同学由于对复数的几何意义理解不透，在求轨迹相关问题中不能正确得出复数表示的曲线而造成错解。

例 4若复数z满足条件|2z-i|+则复数z在平面内所对应的点的轨迹是（ ）。

A.椭圆 B.直线 C.线段 D.圆

错解：先将的两边同除以2，得到此时如果把看作动点z到定点看作动点z到定点的距离，则表示z到两个定点的距离之和为的点的轨迹，即椭圆。故选A。

分析：上述解法得到了动点的轨迹符合椭圆的定义，但是没有注意椭圆定义中的条件，即两定点间的距离小于定常数。

评注：要正确求解与复数相关的轨迹问题，必须加强对概念的理解，把握复数的几何意义，认真审题。

题型5：考查判别式的使用

例 5求使方程x2+（m+4i）x+1+2mi=0至少有一个实根时实数m的值。

错解：因为方程至少有一个实根，所以Δ=（m+4i）2-4（1+2mi）=m2-20≥0，则。

正解：设a是方程的实数根，则a2+（m+4i）a+1+2mi=0，即a2+ma+1+（4a+2m）i=0，由于a，m都是实数，所以解得m=±2。

评注：实数集合是复数集合的真子集，所以在实数范围内成立的公式、定理，在复数范围内不一定成立，必须经过严格推广后方可使用。一元二次方程根的判别式是对实系数一元二次方程而言的，而此题盲目地把它推广到复系数一元二次方程中，造成解题错误。

要想在高考的考场里快而准确地解答复数题，必须要注意细节，夯实基础，还要注重思维的发散，关注复数与其他知识的结合，尽量使用合理的方法解决。相信如果每位同学在学习的过程中能做到细致入微，那么在高考的考场里就能得心应手。常言道：功夫不负有心人！今日的归纳与整理，就是为了明日的展翅飞翔！