数学核心素养在深度学习中提升——以一道高考压轴题的教学为例

顾日新 (江苏省苏州工业园区星海实验中学 215021)

《普通高中数学课程标准(2017年版)》提出：数学核心素养是具有数学基本特征的、适应个人终身发展和社会发展需要的人的思维品质与关键能力．显然易见，思维品质和关键能力是数学核心素养的基本落脚点．按安德森(布卢姆的学生)修订的“新版教育目标分类学”[1]的划分，认知领域的教育目标有“记忆、理解、应用、分析、评价和创造”，前两个属于低阶思维，后四个属于高阶思维．低阶思维仅需要对知识简单记忆、浅层理解，而高阶思维则是在深度理解的基础上进行迁移应用、分析综合与评价创造，指向思维品质提升和关键能力锻造．因此，要提升学生的数学核心素养，就要关注学生高阶思维层次的训练和培养．20世纪50年代国外兴起的深度学习理论研究表明：深度学习是建立在深层次理解的基础上，通过学生的深切体验和深入思考，达成对知识本质和意义的深刻理解，并有效迁移应用．由此看来，数学核心素养的属性决定了其习得取决于高阶思维层次的训练和培养，高阶思维层次的训练和培养又显然依赖于深度学习的过程，而核心素养一旦形成又会有力地支持深度学习，两者是相互促进、相互加强的互动循环关系．

基于上述观点，笔者以2014年江苏高考数学卷第20题的教学为例，在学生课前自主预习的基础上，通过方法优化与完善、变式探究与推理、问题解决与反思等环节促进学生深度思考、互动交流与合作探究，开展深度学习，提升数学核心素养．不足之处，敬请批评指正！

1 真题再现

(2014江苏高考数学卷第20题)设数列{an}的前n项和为Sn．若对任意正整数n，总存在正整数m，使得Sn=am，则称{an}是“H数列”．

(1)若数列{an}的前n项和Sn=2n(n∈N*)，证明：{an}是“H数列”；

(2)设{an}是等差数列，其首项a1=1，公差d<0，若{an}是“H数列”，求实数d的值；

(3)证明：对任意的等差数列{an}，总存在两个“H数列”{bn}和{cn}，使得an=bn+cn(n∈N*)成立．

2 分层预习

笔者所在学校为当地一所热点学校，学生生源层次较高，有能力也有必要去接触一些高考压轴题；但考虑到班级学生在学习态度、数学水平、数学能力等方面的差异，为保证课前预习的实际效果，笔者把第(1)、(2)问确定为课前预习必做题，第(3)问确定为课前预习选做题．这种基于学情根据题目难度实施的分层预习保护了学生预习的积极性和有效性，基本杜绝了因难以完成而求助于网络查题目答案的现象．事实上，笔者在检查学生预习情况时，未发现和高考题参考答案雷同的解法．

3 教学片段

3.1 展示点评，优化完善

教师展示第(1)问代表性的解法(实物投影)：

综上，对任意正整数n，总存在正整数m，使得Sn=am，则{an}是“H数列”．

师：已知Sn求an，需要对n的取值分n=1和n≥2讨论，这是正确求出通项公式an的关键！但注意到an和Sn表达式之间具有一定的相似性，有没有办法回避分类讨论并简化解答过程？

生1：求an+1可以回避讨论，也能简化解题过程：因为an+1=Sn+1-Sn=2n+1-2n=2n=Sn，所以对任意正整数n，总存在正整数m=n+1，使得Sn=am，则{an}是“H数列”．

教师展示第(2)问代表性的解法(实物投影)：

师：该解题过程有漏洞吗？

生2：还要证明d=-1时，m大于零；否则只能说明m是整数，不能说明m是正整数．

师：对！如何证明？

师：堵漏成功！这道题还有没有其他不同的方法？(学生沉默不语)

师：能不能以n的任意性为突破口？

因为d<0，且m是正整数，故m=1，此时d=-1．后面验证的过程和上述解法类似.

师：这种解法有逻辑依据吗？

生3：根据“H数列”的定义，n取任意正整数时，总有正整数m，使得Sn=am恒成立，所以先对n取一个特殊值2，得到m与d的关系式，再根据d<0，m是正整数，逼出m=1，回代得d=-1，则d=-1为{an}是“H数列”成立的必要条件；接下来验证d=-1是{an}为“H数列”成立的充分条件，最终得到d=-1是{an}为“H数列”的充要条件．

师：很好！对于恒成立问题，先特殊求解、后一般验证往往有出奇制胜的效果，这也是解决恒成立问题的通法之一！

设计意图课前批改发现，第(1)、(2)问完成情况相对较好，但第(1)问的解题过程因忽略了an与Sn表达式之间的关系显得有些冗长；第(2)问的解题过程则普遍存在漏洞，暴露出学生考虑问题的深度不够，解题思维缺乏严谨性．通过课堂上集中展示学生典型的解题方法及解题过程，启发学生去完善和优化，学生因出现类似的不足和错误而产生共鸣并受到启发，参与热情高涨．

3.2 变式探究，归纳猜想

师：请大家尝试对第(2)问条件中的“首项a1=1”或“公差d<0”做一些变化，再去探索实数d的取值．写出改编题，并直接写出答案．

展示学生的改编题：

改编1 {an}是等差数列，其首项a1=1，公差d>0，若{an}是“H数列”，求实数d的值．(解答过程略，答案为d=1)

改编2 {an}是等差数列，其首项a1=1，公差为d，若{an}是“H数列”，求实数d的值．(解答过程略，答案为d=±1)

改编3 {an}是等差数列，其首项a1=2，公差d<0，若{an}是“H数列”，求实数d的值．(解答过程略，答案为d=-2)

师：观察条件和结论，能否对命题进行推广和拓展？

生4：我发现a1与d同号时，a1与d相等；a1与d异号时，a1与d为相反数．所以猜想——

若等差数列{an}是“H数列”，则a1d<0时，a1+d=0；a1d>0时，a1-d=0．

设计意图课前批改发现，第(3)问仅少数学生作答，且解答过程也不完整．课前访谈得知，学生对“{an}是任意等差数列”无从下手，对构造成两个“H数列”更是没有头绪．究其原因，主要是学生没有想到把{bn}，{cn}构造成两个等差数列；另外，即便想到构造等差数列，但并不知晓等差数列是 “H数列”必须满足的条件，这是解决第(3)问的难点，也是突破口．因此，笔者设计了一道开放性的问题，让学生尝试改编条件，编制新的题目，并探究变式题中公差d的取值，最后通过观察和联想，猜想出等差数列为“H数列”必须满足的条件，为后续解决第(3)问做好铺垫．这种让学生主动提出问题、独立解决问题的研究过程有助于学生学习兴趣的激发、内在学习动力的驱动.兴趣和内驱力是深度学习的前提，是落实学生主体性的催化剂，发现规律、猜想结论是数学抽象素养和逻辑推理素养的集中体现．

3.3 推理论证，去伪存真

师：有点儿意思！但猜想是一种不完全归纳，它的正确性还要经过严格的推理论证去确定，请大家仿照第(2)问解决．

展示学生解法，师生共同完善：

师：之前的猜想有小瑕疵，但是瑕不掩瑜，没有大胆的合情推理，哪有结论的发现？还有补充的吗？

生5：等差数列{an}是“H数列”，有没有可能a1d=0？

师：分类讨论，要做到不重不漏！请大家独立完成a1d=0的特殊情况．

展示学生解答过程：

师：通过前面的推理论证，最终的结论是什么？请分小组讨论、总结，取得共识之后由代表发言交流．

设计意图推理与证明是数学的标志性思维方式，体现了数学思维的特征．通过观察、猜想、证明三个环节，让学生体会合情推理与演绎推理之间是相辅相成、相互为用，合情推理是数学发现的主要形式，演绎推理则是证明数学发现真假的重要思维形式，这两种推理共同勾勒出数学发现活动的过程．而数学发现必然是建立在深度理解基础之上迁移应用的结果，创造发现是高阶思维的表现，这正是深度学习的目的所在，对培养学生的理性思维和科学精神大有益处．

3.4 拾阶而上，登高望远

师：利用我们刚刚发现的结论，大家有没有信心完成第(3)问？

生众：有！

师：好！我们就来现学现用，如何构造{bn}，{cn}两个数列？请大家积极讨论，踊跃发言！

生6：{bn}，{cn}均为等差数列，其中{bn}的首项为0，{cn}的首项和公差均为a1．

师：生6说的是生7的特殊情况(t=1)，我们一起来验证生7的解法．

下证{cn}是“H数列”：

同理可证{bn}是“H数列”．

综上，命题成立．

师：课后请同学们给出第(3)问的完整解答，很明显，这道题的答案应该不唯一．

设计意图借助结论2，原本可以快速完成第(3)问的解题过程，但是笔者并没有这样做，而是让学生就构造{bn}和{cn}展开讨论；意想不到的是，生7竟然抽象出了数列{cn}的一般情形，这种能力必须依靠较高的数学抽象素养来支撑，验证过程中繁杂的字母运算则又对学生数据(字母)处理能力、数学运算素养提出了较高的要求．第(3)问的解答过程则是一般化结论之下的特殊情况，不同的学生可以有不同的构造方法，深刻把握结论的内涵就能统领全局．对学生而言，建立在深度理解基础上的深度学习启迪了心智、发展了能力，打开了数学发现的大门．

3.5 反思提升，追本溯源

师：生6与生7都把{bn}，{cn}构造成了等差数列，是巧合还是必然？

生7：因为{an}是任意等差数列，而任意一个等差数列一定可以拆成两个等差数列，再结合前面归纳的 结论2， 把“H数列”构造成等差数列也比较简单；当然，也许还有其他构造方法，比如第(1)问中的数列.

师：任意一个等差数列一定可以拆成两个等差数列？课本上有没有这样的结论？

展示苏教版必修5习题2.2(1)第14题：已知数列{an}和{bn}是两个无穷等差数列，公差分别为d1和d2，求证：数列{an+bn}是等差数列，并求它的公差．

师：也许命题者的灵感正是来源于此！从这个角度来说，这道压轴题是源于课本，但又高于课本．最后，请大家回顾整个解题过程，领会其中涉及的解题策略及思想方法，有不同想法可以继续交流．

生8：等比数列有没有类似的“H数列”？

师：“H数列”的定义本来就是人为规定的，等比数列中并不一定存在类似的“H数列”，有兴趣课后可以进一步去探索；不过，等差数列以“和”与“项”的关系为研究视角，等比数列能否作相应的类比，以“积”与“项”的关系为研究视角？比如：记等比数列{an}的前n项乘积为Πn，若对任意正整数n，总存在正整数m，使得Πn=am，则称{an}是“H数列”，根据这个定义，大家可以仿照高考题去编题、去做一点小探究．

设计意图绝大部分高考题都有课本例题或习题的影子，通过追问引导学生回归课本，重视课本，重视基础．生8的突发奇想看似偶然，实则必然，等差数列与等比数列是两个高度关联的数列模型，确有拓展与联想的空间；宽松、和谐、积极的课堂氛围对学生的好奇心和问题意识起到了保护作用．教师的启发和追问打开了学生的想象空间，激活了学生的记忆表象系统，由此及彼，举一反三．

4 教后反思

4.1 深度学习离不开适宜的课堂氛围

深度学习是一种内源性的学习[2]，需要学生主动参与、主动建构、主动发现，这些行为的发生都离不开适宜的课堂学习氛围．美国心理学家罗杰斯认为，有效的教学必须建立在师生相互理解、相互信任的基础之上，进而营造一种有序、和谐、灵动的课堂气氛．适宜的课堂氛围表现在学生有充分表达的机会，有积极思考的时间，有合作交流的舞台，有思维碰撞的空间．适宜的课堂氛围能保障深度学习的进行，深度学习则必然伴随着有效教学，必然促进着数学核心素养的提升．

4.2 深度学习离不开深度的思维活动

从布鲁姆对认知领域教育目标的分类可以看出，智能技术能力(理解、应用、分析、评价和创造五个类别)属于高阶思维过程，需要深层次理解进行支撑，以核心的学习内容为思维媒介完成深度学习．但是，深度学习绝不是高难度学习的代名词，深度学习是指学生在深度理解的基础上，采用探究式学习或合作式学习经历深度思维活动，完成从知识学习走向意义系统的建构，达成迁移应用、综合分析、自我评价和独立创造的行为．深度学习的过程无关结果，强调深度思维活动发生与否．所以，一定程度上，学生有没有进行深度的思维活动可以作为深度学习是否发生的重要依据之一．

4.3 深度学习离不开教师适时、适度的引导

现代课堂观认为，课堂活动中学生是主体，问题是主线，教师是主导．笔者认为，教师的“导”应该体现在如何引导学生参与教学过程，引导学生提出问题、解决问题，并最大化地获取知识，形成能力，提升素养．深度学习必然会遇到障碍，这就需要教师在给学生留足思考空间的前提下进行适时、适度的引导，激发学生的思维活力，让学生经历分析、应用、评价和创造的过程．《普通高中数学课程标准(实验)》也明确指出“要让学生‘经历……过程，感受……方法’”．因此，教师要具有强烈的学生意识，充分尊重学生的主体性，引导时做到不缺位、不越位，适时、适度给出必要性的提示和引导．围绕核心内容设计数学探究活动，让学生进行有效的深度学习，促使学生主动参与知识建构，在自主提出问题、解决问题的过程中发现数学知识，领悟数学方法，增强学习体验，养成探究习惯．

4.4 深度学习与数学核心素养相互促进

数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象和数据分析构成了数学六大核心素养，核心素养的提升贯穿在整个学习过程中．深度学习作为浅层学习的延伸和拓展，其重心在于学生对知识的深层次理解及迁移应用，避免了对知识的简单记忆和机械重复，学生通过独立思考和积极探究，获得知识和能力，最终促进数学素养的提升．正如文首所言，数学核心素养的属性决定了其习得取决于高阶思维层次的训练和培养，高阶思维层次的训练和培养又显然依赖于深度学习的过程，而核心素养一旦形成又会有力地支持深度学习，两者是相互促进、相互加强的互动循环关系．所以，只要深度学习得以落实，核心素养的提升必然水到渠成．