用好教材培养学生深度思维——以“直线与圆的位置关系(1)”为例*

蒋育芳 钟 鸣 (江苏省无锡市西漳中学 214171)

教材是专家集体智慧的结晶，是课程标准的载体，给了我们实践课程理念、实现课程目标以示范和引领．现实中，不少教师缺乏“用好教材培养学生深度思维”的意识．理解教材结构体系的建构意图，理解教材素材选取的设计意图，把教材中“省略”的逻辑关系和意义找出来，设计深度思维的教学资源培养学生的深度思维，这些是当下数学教师要关注和回归的基本功．

1 一节课的深思

“直线与圆的位置关系(1)”是苏科版义务教育教科书九上第七章的内容，笔者曾教过多次，也多次听过这节的公开课，教学思路大同小异：感性认知，由日出引出课题“直线与圆的位置关系”；数学抽象，根据公共点的个数分为三种位置关系——相离、相切、相交；数形结合，通过图形直接得出圆心到直线的距离d与半径r的数量关系，反之也成立，于是师生达成共识——直线与圆相交⟺dr；数学运用，进行例题教学和练习．总感觉这样的课堂少了些什么.直到要开设这节公开课，笔者再次认真研究教材、深入思考，才知道这样的课堂缺的是对教材的深度解读和学生的深度思维：为什么直线与圆的位置关系就只有三种？为什么教材特别强调类比点与圆的位置关系？为什么用圆心到直线的距离与半径这两个数量的关系作比较？

2 深度解读教材

这节课的课标要求是：“了解直线与圆的位置关系．”[1]定位比较基础，思维似乎没有深度参与的必要．但是，当把这节课与前后知识相联系、与单元课标相结合，就会发现有思维深度参与的必要．

“点与圆的位置关系”是这节课的知识基础，这节课又是“圆与圆的位置关系”的知识基础．从图形直观的位置关系到抽象出两个数量及其数量关系，再到建立位置关系与数量关系的对应，这三节课有着共同的认知结构．这个认知结构是学生可以迁移带走的东西，是学生数学学习的关键能力，是培养学生深度思维的关键之处．

本章的单元目标要求是：“结合相关图形性质的探索和证明，注重揭示知识的发生过程，引导学生经历‘观察、操作—探索、猜想—推理’的认识过程，学会数学地思考问题．”因此，教材重点设置了四个层次的探索活动：直观感受“直线与圆位置关系的变化”—探索“直线与圆公共点个数的变化”与“圆心到直线距离的变化”的对应—归纳三种位置关系并给出相应概念—探索“圆心到直线的距离与半径之间的数量关系”和“直线与圆的位置关系”的内在联系．这样的“知识的发生过程”体现了“图形位置关系”与“相应数量关系”相互决定的“数形结合”，这个过程中的数形结合既是重要的知识内容，更是重要的思想方法，也是培养学生深度思维的关键之处．

3 培养深度思维

3.1 依托教材，前后联系，激活学生深度思维

师：回忆点与圆位置关系的学习过程，从哪些方面探索，得到哪些结论？相互交流并完成下表．

表1 点与圆的位置关系研究过程空表

学生很专注地回忆点与圆的位置关系，独立或是通过同桌交流，能够回忆出研究的过程，从图形出发到位置的分类、位置关系与数量关系之间的对应等方面．达成共识后，完善表格.

表2 点与圆的位置关系研究过程完善表

师：若把点替换成直线，直线与圆的位置关系又怎样呢？(引出并板书课题)

师：如果请你设计研究方案，你会怎样设计？在导学单上空白区设计你的方案．

学生会自然地类比点与圆的位置关系，将直线与圆的位置关系从画图开始，分别从位置关系、对应的数量、数量关系、位置关系与数量关系的对应等方面展开．

设计意图有意义的学习过程就是新知识被原有知识同化的过程．本节课的上位知识是点与圆的位置关系，据此类比导入本节课，不仅复习相关知识，也回顾了研究方法和思想，将本节课的研究转化为“点与圆的位置关系”研究；通过安排设计直线与圆的位置关系方案这一环节，让学生主动类比点与圆的位置关系，在参与学习中感受类比学习方法的好处，揭示相同的研究问题的思想方法．这个情境充分依托教材，从数学知识的逻辑性来创设情境、搭建支架，更有利于本节课的开展．

3.2 开发教材，逻辑自然，发展学生深度思维

师：直线与圆有几种位置关系？画出图形，思考分类依据．

大部分学生很快就能画出三种图形，同时能够说出分类的依据是直线与圆的公共点个数：两个公共点、一个公共点、没有公共点，共三种情况(图1).

图1

教师要做的是在学生的直觉思维结果的基础上发展学生的深度思维，抛出问题：只有三种情况吗？不会有三个公共点吗？为什么？

学生陷入困境，该怎样说明只有三种情况呢？

教师进一步启发：如果从运动的角度看，我们的分类是不是不重不漏呢？

学生很兴奋地提出建议：平移直线(也有学生提出平移圆).教师总结：不论哪种平移，都是保持一个对象不动，移动另一个对象．然后学生动手平移，在平移的过程中，学生们就直线经过圆心位置时公共点的个数到底是几个进行了争论，最终达成共识——两个公共点．

师：根据直线与圆公共点的个数来定义直线与圆的三种位置关系是合理的．

设计意图学生思维是否能深度参与，一定程度上取决于教师对教材的理解基础上的开发．教材中是用平移来发现直线与圆的公共点个数，在吃透教材意图的基础上，笔者基于学生的学情(对三种情况的获得不存在困难，但对为什么只有三种是缺乏思考的)稍作改动，设计通过平移直线或平移圆的方式检验直线与圆的位置关系，既就过程中可能出现的认知误区进行了辩论，又让学生感受到直线与圆的位置关系有三种情况并且只有这三种情况，从而用直线与圆的公共点的个数定义它们的位置关系就水到渠成了．学生对知识发生发展脉略的细腻理解，自然发展了学生的深度思维．

3.3 挖掘教材，问题驱动，促进学生深度思维

按照学生自己设计的方案，接下来就要类比点与圆的位置关系抽象和选择能够刻画相应位置关系的数量．以“点心距”类比抽象“线心距”(圆心到直线的距离d)，从选择“点心距”与半径比较类比选择“线心距”与半径比较，这样的抽象和选择是自然的．对于少部分不太理解的学生，笔者仍旧采用平移直线的方式帮助他们直观理解位置关系变化带来的数量关系变化．学生容易通过图形直观得到“直线与圆的位置关系”与“线心距d与圆的半径r的数量关系”之间的对应．

学生比较容易接受作为“知识内容”的数形结合，但是作为“思想方法”的数形结合是要深入体会的．从知识到方法、到能力、到思想，是学生数学学习真正有价值的地方，更是培养学生深度思维的基本途径．沿着这样的基本路径，通过问题串驱动，可以有效培养学生的深度思维．

师：你为什么会选择垂线段长度与半径作比较呢？

学生明显顿了一下，这个问题让学生从“是什么”的形象思维、直觉思维中走出，不得不进行“为什么”的抽象思维、理性思维．原本抬头看着老师的一张张脸立马转向导学单，静静思考起来，深度思维悄悄地发生着．

生1：垂线段最短．

师：是的，再仔细观察这条垂线段，还有什么特征？

生2：一个端点是圆心，一个端点是垂足.

师：很好！这个垂足在直线的位置上有什么特点呢？

生3：离圆心最近．

师：那就是说我们在直线上找到了一个特殊点，离圆心最近的一个点，就是我们画垂线段的垂足，也就是说我们把直线与圆的位置关系转化成——

生：垂足与圆的位置关系．

师：非常棒！那我们再来看看这个垂足能否代表直线？

这样的问题串追问驱动着学生深入理解垂足的代表性、转化的合理性，进而达成共识：相离时，直线上所有的点都在圆外，自然最近的点即垂足也在外面，点在圆外，自然有d>r；相切时，有唯一的公共点，那这个点自然是离圆心最近的点即垂足，所以有d=r；相交时，垂足点D在圆O内，所以有d

反之，当d>r时，离圆心最近的点都在外面，直线上的其他点也就都在圆外面，那么直线与圆没有交点，所以直线与圆的位置关系是相离；当d=r时，垂足D在圆上，直线上其他的点到圆心的距离都大于r，都在圆外，只有点D在圆上，根据定义可知直线与圆相切；当d

显然，这样的共识既形象生动又有着严谨的逻辑．学生不仅经历了“是什么”的知识学习，经历了“怎么办”的方法操作，也经历了“为什么”的思想体验，学生的思维在三层递进中获得了深度锻炼．

设计意图在本环节研究过程中，笔者并没有在学生由直觉思维得到结论后直接进行练习教学，而是紧紧围绕教材的意图，抛出问题，激发学生深度思维的参与；设置问题串，引导学生自然参与、主动参与，教师适时点拨，在深度思维的过程中，学生的思维能力得到提高，同时在思维深度参与中真切体会到类比、转化、数形结合给学习带来的优势．

4 用好教材的反思

自课程标准提出信息技术与数学教育融合的理念以来，PPT、导学单等手段使教学越来越便利的同时，也让师生越来越远离教材．教材遵循课标理念，汇聚专家智慧，沿着科学育人方向，执行国家教育方针，是学生学习的根本素材，也是教师教学的基本素材．身处大数据时代，信息技术与教学深度融合也需要首先回归教材、用好教材．

4.1 用好教材基于深度解读

教材由于篇幅限制、简约性要求等原因，会简化或舍弃一些内容，这就产生了许多学生看不见的留白．这正是需要学生“于无字处读书”的原因，也是需要教师对教材进行深度解读的地方．另一方面，教材中的内容尽管简单，但却是一个内涵丰富的综合体：不仅有显性的知识结果，还有隐性的方法过程；不仅有知识之间的关联，还有本质之中的思想；不仅有知识运用的技能，还有能力之上的数学素养[2]．

用好教材首先要通过深度解读，研究教材的编排意图，挖掘上述的丰富内涵，设计成具有育人价值的数学活动，学生的深度思维才能获得有效培养．本节课在深度解读中确定了两处需要深度思维的地方，从认知结构和思想方法的角度将本节课置于单元的整体课标要求系统中，充分挖掘课时的育人价值．

4.2 用好教材围绕深度思维

在深度解读教材的基础上，将静态的教材素材转化为师生共同参与的动态生成过程，就是带领学生体验知识学习从“是什么”到“为什么”到“怎么用”以及“怎么想到这么用”的过程．“为什么”之后的过程，需要学生深度思维的参与．这就要求我们在用好教材的时候要紧紧围绕深度思维开发教材、拓展教材，让学生在学习过程中的深度思维真正发生，锻炼学生发现、提出、分析和解决问题的能力．

本节课从认知结构的角度创设更具数学味的情境，帮助学生体验数学研究的一般认知模式；在“直线与圆的位置关系”的定义处设置操作活动，让学生经历定义的形成过程及其细节；在“直线与圆的位置关系”与“线心距d与圆的半径r的数量关系”之间的对应处设计问题串，促进学生深度思考对应的合理性．这些都是围绕深度思维培养对教材的再开发和拓展．

4.3 用好教材培养深度思维

培养深度思维是用好教材的最终旨归．课堂上教师设置符合学生认知规律的数学活动，提出引领学生进行深度思维的问题，鼓励学生积极参与，以自主探索、合作交流等方式发现数学概念、定理等数学结论，感受类比、转变、数形结合等数学思想方法在知识形成过程中的无限魅力，激活深度思维意识；让学生经历分析问题、解决问题的过程，感受知识运用的方法和条件，感悟数学知识的本质，领悟破解困难的指导思想，锻炼创造性想象力，培养深度思维习惯．

爱因斯坦曾说:“提出一个问题往往比解决一个问题更重要．因为解决问题也许仅是一个数学上或实验上的技能而已，而提出新的问题，却需要有创造性的想象力，而且标志着科学的真正进步．”[3]我们坚信：用好教材培养深度思维，一定能够产生这样的“创造性的想象力”．