常用逻辑用语易错问题辨析

■江苏省泗洪中学 陈亚娟

■江苏省泗洪中学 陈亚娟

常用逻辑用语是高中数学的重要内容，是学习数学不可或缺的工具，但由于其本身也具有非常抽象的逻辑性，大家在学习的过程中，容易混淆概念或者对相关定义理解不深刻，从而出现解题错误。本文就同学们在学习过程中常见的典型错误进行分析总结。

一、书写命题的否定时的常见错误

1.否定词使用不正确导致错误

例 1已知命题p：存在一个实数x，使得x2-x-2＜0，写出¬p。

错解1：¬p：存在一个实数x，使得x2-x-2≥0。

错解2：¬p：对任意的实数x，使得x2-x-2＜0。

错解3：¬p：∀x∉R，使得x2-x-2≥0。

剖析：该命题是特称命题，其否定应该是全称命题，即它的否定¬p：对任意的实数x，使得x2-x-2≥0。错解1仍然是特称命题，只对结论进行了否定，没有对存在量词进行否定；错解2只对量词进行了否定，没有对结论进行否定；错解3对命题的适用范围也进行了否定。

警示：对含有量词的命题进行否定时，一要牢记全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，注意不能只否定结论，而忘记了对量词的否定，也不能只否定量词，而忘记了对结论的否定；二要牢记命题的否定与原命题的真假性相反，可以以此来检验命题的否定是否正确。

2.忽略省略量词的全称命题导致错误

例 2写出下列命题的否定：

（1）可以被5整除的数，末位是0；

（2）能被3整除的数，也能被4整除；

（3）平行四边形是矩形；

（4）若x＞0，则x＞1。

错解：（1）可以被5整除的数，末位不是0；

（2）能被3整除的数，不能被4整除；

（3）平行四边形不是矩形；

（4）若x＞0，则x≤1。

剖析：（1）可以被5整除的数，末位有的是0，有的不是0，原命题和它的否定都是假命题，这显然是错误的。它是省略了全称量词“任何一个”的全称命题，命题的否定应该为：有些可以被5整除的数，末位不是0。同理（2）（3）也是省略了全称量词“所有”的全称命题，命题的否定分别为：存在一个能被3整除的数，不能被4整除；有的平行四边形不是矩形。（4）中“若x＞0，则x＞1”与“若x＞0，则x≤1”也都是假命题，也不能互为否定。实际上，这是一个“若p，则q”型的命题，一般不书写否定，如果书写它的否定要先写成全称命题，即q：∀x∈（0，+∞），x＞1，其否定¬q：∃x∈（0，+∞），x≤1。

警示：我们要书写一个命题的否定首先要明确这个命题的结构，在高中教材中，常见的命题按结构可以分为以下几类：①单称命题（例如2是偶数）；②若p，则q型；③复合命题（含有逻辑联结词“或”、“且”）；④全称命题；⑤特称命题。由于全称量词往往省略不写，在书写这类命题的否定时，必须先找出其省略的全称量词，写成“∀x∈M，p（x）”的形式，其否定应该是“∃x∈M，¬p（x）”，不能只否定结论，不否定量词，写出否定后可以结合它们的真假性（一真一假）进行验证。对于“若p，则q”型的命题，我们在中学阶段一般只书写它的逆命题、否命题、逆否命题，如果要书写它的否定，则需要把它改写成全称命题，然后再书写它的否定。

3.忽略条件的隐含信息导致错误

例 3已知试写出p，q的否定¬p，¬q。

错解：p的否定¬p为；

q的否定¬q为lgx≤0。

剖析：一个命题的否定是对它的全盘否定，p等价于x＜0，它的全盘否定¬p等价于x≥0，而等价于x＞0，并不是p的否定。同理，q等价于x＞1，它的全盘否定¬q为x≤1，而lgx≤0等价于0＜x≤1，并不是q的否定。

警示：在书写一个命题的否定时，应该先将原命题化简，再根据化简后的等价形式书写否定就不容易出错了。

二、命题真假判断中的常见错误

1.没有理解全称命题与特称命题的本质含义导致错误

例 4已知命题p：∃x∈R，使得x2-mx+1≤0，命题q：∀x∈R，使得x2+2x+m＞0。若命题p∧q为真命题，求实数m的取值范围。

错解：当p是真命题时，则有Δ=m2-4≤0，解得-2≤m≤2；当q是真命题时，则有Δ=4-4m＜0，解得m＞1。由于p∧q为真命题，则p，q都是真命题，所以实数m的取值范围是（1，2]。

剖析：对于命题p，二次函数x2-mx+1的图像开口向上，若存在实数x使得x2-mx+1≤0，即x2-mx+1≤0有解，则抛物线y=x2-mx+1应该与x轴有交点，即Δ=m2-4≥0，解得m≤-2或m≥2。当q是真命题时，则有Δ=4-4m＜0，即m＞1。综上所述，m的取值范围是[2，+∞）。

警示：我们要深刻理解全称命题和特称命题的本质含义，特别是全称命题中元素的任意性和特称命题中元素的存在性。全称命题和特称命题求参数取值范围的问题，常以一次函数、二次函数为载体进行考查，解决此类问题，可构造函数或利用数形结合的思想方法进行求解，也可以用分离参数法，但要注意是否需要对参数进行讨论。

2.复合命题的真假性判断出现错误

例 5设命题p：函数f（x）=x3-ax-1在区间[-1，1]上单调递减；命题q：函数y=ln（x2+ax+a）的值域是R。如果命题p∨q为真命题，p∧q为假命题，求a的取值范围。

错解：p为真命题⇔f′（x）=3x2-a≤0在[-1，1]上恒成立⇔a≥3x2在[-1，1]上恒成立⇔a≥3。q为真命题⇔Δ=a2-4a≥0恒成立⇔a≤0或a≥4。

由题意命题p∨q为真命题，p∧q为假命题，所以p真q假，则所以3≤a＜4。

综上所述，a的取值范围是[3，4）。

剖析：若p∨q为真命题，则p，q中至少有一个真命题，即“一真则真”，p∧q为假命题，则p，q中至少有一个假命题，即“一假则假”。于是上述问题应该转化为p与q一真一假，即p真q假或p假q真。

综上所述，a的取值范围是（-∞，0]∪[3，4）。

警示：对于由逻辑连接词“或、且、非”组成的复合命题，一定要坚持真假性的判断依据，即p∨q“一真则真”，p∧q“一假则假”，¬p“一真一假”。

三、充分条件与必要条件中的常见错误

1.忽略分类讨论导致错误

例 6已知p：∀x∈R，ax2+ax+1＞0恒成立，q：0＜a＜4，则p是q的（ ）。

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

错解：对于p，a＞0，且a2-4a＜0，即p：0＜a＜4，从而p⇔q，故p是q的充要条件。

剖析：题目中并没有说明该函数是二次函数，所以应先考虑二次项系数为0的情况。当a=0时，不等式变为1＞0，符合题意，故p：0≤a＜4，从而p⇒/q，q⇒p，故p是q的必要不充分条件。

警示：忽略对二次项系数的讨论是学习过程中常犯的错误，要引起高度重视。

2.忽略空集导致错误

例 7已知集合A={x|x2-3x-10≤0}，集合B={x|m+1≤x≤2m-1}，记p：x∈A，q：x∈B，若p是q的必要条件，求实数m的取值范围。

错解：由题意，A={x|-2≤x≤5}。由p是q的必要条件得B⊆A，从而解得-3≤m≤3。

剖析：p是q的必要条件，即q⇒p，则p对应的集合“大”，q对应的集合“小”，B⊆A。

错解中忽略了B=∅的情形，此时，m+1＞2m-1，解得m＜2。

当B≠∅时，m+1≤2m-1，得m≥2，结合错解的解答得到2≤m≤3。

综上所述，实数m的取值范围是m≤3。

警示：利用充分条件、必要条件求参数的取值范围，要先根据集合间的包含关系与充分条件、必要条件的关系，将问题转化为集合之间的关系，建立关于参数的不等式或不等式组求解。通俗地讲，“大范围”是“小范围”的必要条件，“小范围”是“大范围”的充分条件。切记讨论包含关系时不要忘记讨论空集，即当B⊆A时，应分B=∅和B≠∅两种情形进行讨论。

3.忘记分母不能为零导致错误

例 8已知p：x2+x-6=0，q：mx+1=0，且p是q的必要不充分条件，求实数m的值。

错解：p：x=2或则p，q对应的集合分别为M={2，-3}，由于p是q的必要不充分条件，故N是M的真子集，从而有或-3，所以。

剖析：错解中对q进行化简时，漏掉了m=0时的情况，当m=0时，mx+1=0无解，N=∅，满足题意；当m≠0时，才有错解中讨论的结果，故m=0或。

警示：在解方程或对表达式进行化简时，一定要注意是否为等价变形，变形之后定义域是否扩大或缩小等问题，例如，不等式两边同乘以一个数时要讨论这个数的符号，又如，解方程lgx=lg（x2+2x-2）时，脱去对数符号后得到x=x2+2x-2，还要注意真数大于零，否则会导致增根。