一道“难题”的三个解题视角与启示

李建华

(河南省长垣市宏力学校，453400)

如下是一道高三年级月考试题.计算:

此题主要考查利用三角恒等变换化简求值,需要综合运用三角诱导公式、二倍角公式、两角和与差的正余弦公式等.由于灵活度高、技巧性强、难度较大,学生得分率普遍较低.本文从以下三个视角审视这道“难题”,并给出解决此类问题的一些启示.

视角1降幂

+64sin220°

+64sin220°

+64sin220°

=32cos 40°+32(1-cos 40°)=32.

视角2统一“变量”

由余弦三倍角公式cos 3α=4cos3α-3cosα得32cos340°-24cos 40°=8cos 120°=-4,

启示2先利用降幂公式将二次全部化为一次,观察式子中只含有cos 40°,直接整体通分,统一成关于cos 40°的式子,再借助余弦三倍角公式,巧妙求解.作为一道课本待证明的习题,我们对正余弦三倍角公式并不陌生.

视角3分离“常数”

解原式=

+32(1-cos 40°)

而4+8cos 40°-32sin240°cos 40°

=4+8cos 40°-16sin 40°sin 80°

=4+8cos 40°-16sin(30°+10°)cos 10°

=4+8cos 40°-8(cos 10°

=8cos 40°+4

=8cos 40°-8cos(20°-60°)=0，

启示3考虑到此题最后的结果应该是一个确定的常数,降次后发现第二个式子中有常数32,通分时先不带这个常数.那通分后分子可能是或者能和分母约掉sin240°,再单独计算分子,其结构比之前相对更简洁一些.反复利用二倍角公式、辅助角公式等,不断拆角与重组,层层深入,逐步计算,最终求得结果.我们在数学解题中要敢想敢算,大胆尝试,这也是数学素养较高的一种表现.