在关联中寻找方法 在反思中感悟本质*——以一道解析几何最值问题为例

杨 勇

(江苏省镇江市实验高级中学,212003)

圆锥曲线是高中数学的重要内容之一,涉及到椭圆、双曲线、抛物线等内容.与直线组合,可演变出很多题型,常见的如定点、定值、最值问题等.由于这类问题具有计算量大，知识融合度高，方法多样化等特点,学生解决起来比较困难.因此,如何寻找思路、突出联系、反思本质，就显得尤为关键.本文以一道解析几何中的最值问题为例,进行探究.

一、阅读分析,理解题意

(1)求椭圆的方程;

(2)过点D(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A,B,求∆OAB面积最大值.

二、设定变量,寻求表达

(2k2+1)x2+8kx+6=0.

(*)

自此,面积函数千呼万唤始出来,最大值又如何求呢?

三、解法探究,注重关联

课堂实录片段

师:问题到此得到完美解决,然而所涉及的方法是否掌握并能灵活应用?

例2(2016 全国卷理科I卷第20题)

如图2，设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过点B作AC的平行线交AD于点E.

(1)证明|EA|+|EB|为定值,并写出点E的轨迹方程;

(2)如图3，设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.

每一道经典例题和高考试题都是命题者集体智慧的结晶,往往蕴含着丰富的数学思想和方法.比如,上述解法之间就存在千丝万缕的联系,在解题后要不断反思,领悟知识间的交汇融合,对培养解题思维和提升运算能力很有帮助.例1的解法1、解法2和解法4本质上都是利用了换元法,只是换元的对象和思路是不一致的.解法1以消去根号为出发点；解法2是在受到解法1启发的基础上做了大胆猜想、小心验证,通过两次换元能够顺利解答;解法4则是在解法2的基础上,通过深入观察化简过程而得到的尝试,这种求解方法需要临场应变和缜密思考;解法3是利用函数求导解决最值问题,该方法不难想到,但求解过程计算量大,比较繁琐,很多学生会半途而废.四种方法当中，解法1是通性通法,也是最容易想到的解法,其他几种方法是该类题型的有效补充.