通过学生动手实践获得概念的实践研究

丁爱琼

【摘 要】 本文以圆锥曲线中的双曲线、抛物线为例，阐述学生动手实践的操作步骤和形成概念所经历的思考过程，以及动手实践对培养高中生数学核心素养的意义。通过实践，总结出圆锥曲线单元的教学模式。

【关键词】 动手;实践;数学;核心素养

高中阶段的数学教育目的是帮助学生提升数学素养，引导学生会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界。

首都师范大学的王尚志老师对于在教学中如何落实高中数学核心素养给出建议：“整体把握学科课程，抓住学科本质，进行单元（主题）教学，促进学生学会学习。”下面我以圆锥曲线单元教学为例，通过课堂教学和反思，阐述学生动手实践的操作步骤和形成概念所经历的思考过程，以及动手实践对培养高中生数学核心素养的意义。

课本在圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的教学中，椭圆是用细绳作为工具，画出椭圆图形，进而让学生在画出图形中寻找椭圆上点的几何特征，从而总结归纳椭圆定义。双曲线是用拉链作为工具，画出双曲线图形，进而让学生在画出图形中寻找双曲线上点的几何特征，从而总结归纳双曲线定义。抛物线则是用多媒体技术“几何画板”作为工具，画出抛物线，进而让学生在画出图形中寻找抛物线上点的几何特征，从而总结归纳抛物线定义。

在多年的一线教学工作中，我也一直用这个方法处理概念形成。由于我校多媒体设备不错，在椭圆和双曲线的教学中，我也用“几何画板”进行了生动直观的教学，学生也感受到了概念的形成和认识了概念。基于我参与研究的课题《单元教学法在高中数学教学中的实践研究》，让我有机会在两个不同的學校就双曲线和抛物线这两个内容进行同课异构，为更好地在数学课堂中落实高中数学核心素养进行了深入的思考和实践。

一、教学设计中的概念形成环节（双曲线定义引入）

（一）创设情景，引入课题

1.知识回顾

问题1：椭圆的定义是什么？

问题2：若把椭圆定义中的“与两定点的距离的和”改为“距离的差”，这时轨迹又是什么呢？

2.动手作图，观察动画

通过动手实践、观察，猜想轨迹为双曲线，用几何画板展示动态生成轨迹的全过程，印证猜想。

第一步：在定圆F1的右半圆上（左半圆上）任取一点P1;

第二步：将白纸对折，使P1和F2重合并留下一条折痕;

第三步：用虚线连接P1和F1 ，并延长交折痕于M1 ;

第四步：在右半圆上（左半圆上）依次任取点P2 ，P3，P4，重复第二步和第三步，得到点M2 ，M3，M4，这些点能连成一个很美的图形。

思考：（1）线段|PF2|与折痕的关系？

（2）与的关系？

（3）与的关系？

（二） 探究发现，挖掘新知

首先，归纳定义：=2a（常数）。接着让学生探究常数2a的取值情况，得出常数2a在什么范围时图形才是双曲线。

二、教学设计的意义

1.让每个学生在数学实践活动中提升直观想象的数学核心素养

课本的实践活动中，拉链不是每个学生都有，参与实践的只是老师，并且老师在拉链实践中动作太快，学生没有看清楚发生什么，就草草引出了定义，学生是被动地获得知识（定义）。有老师也尝试让学生拉拉链，但是，实际操作中拉链并不好弄，也看不出点的几何特征，学生还是被动。而我进行如上教学设计，让学生亲自动手画图，可以人人参与动手实践，使数学课堂更活跃，数学学习更有趣，让每个学生都感受了几何图形的对称美，让学生直观想象的数学核心素养能更好地落实在课堂教学中，也巩固了学生几何内容的学习策略——画图研究更有利于解题，提高了学生画图解题的考试策略。这点原本在直线和圆的学习中体现得更明显，在这里再次画图，也是加强学生画图的习惯，让学生更好地用数学符号表达数学，用数学图形理解数学，并解决数学问题。比如以下两道高考题，用画图就可以非常迅速地解出答案。

2.数学实践活动后，需要明确思考的方向和思考的目标，清楚实践活动对于完成教学任务（总结定义）的作用

课本一般就一句话：通过画图，请你总结双曲线中点的几何特征。经过实践研究，学生基本不能回答这个问题。因为几何特征问题太泛，我们的学生没有这么高的数学核心素养。结合我校学生实际，在实践活动后，需要学生总结归纳出概念，这是为了锻炼学生的数学抽象和总结概括能力，提升学生数学抽象的高中数学核心素养。为了更好地在课堂中落实这一核心素养，在画完图形后的思考题中，我用问题串的形式，给出了学生明确的思考方向，让学生知道画出的众多点、线中，这节课要研究的是哪些点、线，具有哪些几何特征。给每个学生动手实践、参与课堂的机会，也让每个学生都进行了有意义的思考，进而总结归纳出双曲线的定义。

三、教学设计的反思与再次实践

在南宁市第三十三中学和武鸣高中都上了《双曲线的定义和标准方程》。这两所高中都是南宁市的示范性高中，作为南宁市第三十三中学老师，代表我校去武鸣高中参加同课异构活动。我先在我校进行了磨课，我的教学设计看起来很理性，老师的设计初衷也不错。但是，在40分钟的现场课堂教学中，光是让学生画图就花了15分钟，导致我未完成这节课的教学任务（定义和标准方程）。和组内老师交流后，我们决定将作图环节提前到上课前，也就是在课前预习环节，就给学生布置作图任务并完成作图后的思考题。将作图环节提前而不是取消，我们认为课外让学生动手画图，更有助于提高学生的数学核心素养，感受数学学习中的动手实践带来的乐趣，和同学分享成果的喜悦，感受数学图形的对称美，感受几何中点、线特征如何转换成数学符号，并逐步总结出定义这些概念形成的过程。这一亲身经历对于学生来说也将是难忘的。将这一环节提前到课前，学生的时间多了，学生作出的图形更漂亮。以下是学生的作图。

四、抛物线定义引入

通过这次《双曲线定义和标准方程》的教学设计的尝试，使我对于课堂教学中如何更好地落实学生的数学核心素养有了更深刻的体会。基于这样的想法，我同样对《抛物线的定义和标准方程》的概念形成做了如下教学设计：

（一）创设情境，激发兴趣

篮球明星姚明精准投篮，究竟是怎样的曲线才能使得篮球精准地投入篮筐呢？

（二）师生探究，抽象定义

1. 动手实验

（1）已知定点F和定直线l，请同学们按照下列步骤作图：

第一步：在定直线l上任取一点 H1;

第二步：过点H1作直线l的垂线n1;

第三步：作线段H1F的垂直平分线m1交n1于点M1 ;

第四步：在定直线l上依次任取点H2，H3，H4，H5，重复第二步和第三步，得到点M2，M3，M4，M5， 将这些点用光滑的曲线连接。

（2）思考：①线段H1F垂直平分线上的点M1 有什么特点？列出点M1 具有的关系式。

②点M1 到直线l的距离d与 |M1H1|是否相等？

③點M1 到直线l的距离d与|M1F|是否相等？

（3）结论：曲线上的任意点M满足的关系式是_。

2. 结合信息技术几何画板，动态作图

作图步骤：

（1）点F是定点;

（2）l是不经过点 F 的定直线;

（3）H是l上任意一点;

（4）过点H作直线l的垂线n ;

（5）作线段FH的垂直平分线m交n于点M ;

（6）拖动点H，观察点M的轨迹。

3.归纳定义，探究发现

定义：我们把平面内与一个定点F和一条定直线l距离相等的点的轨迹叫作抛物线，定点F叫作抛物线的焦点，定直线l叫作抛物线的准线。

探究：已知定点F和定直线l的位置情况。结论：定点F不在定直线l上，作出的图形才是抛物线。

这样设计还是画图，三十三中学生经历了双曲线的作图后，再次操作类似的作图环节，学生动手能力提高了。这个作图环节直接在课堂进行，只花了5分钟就完成了作图，学生也能准确总结出抛物线定义。以下是学生作图。

带着这个教学设计，我去参加了上林中学的《抛物线定义和标准方程》的同课异构活动。上林中学是上林县的重点高中，上林中学的学生大部分是城镇或农村孩子，他们在初中平面几何的学习中，并未积累相应水平的数学核心素养（作图能力），对于画图比较陌生，学习中动手实践更是少之又少，也正是由于他们这方面较弱，所以我们才更坚持在课堂上让学生现场作图。学生第一次作图，的确非常不习惯，动手能力较弱，花了10分钟才有学生作出比较完整的图形，作图后的思考题也没能准确回答，归纳总结不顺畅，还是需要老师点拨。但是，课后和该校老师交流，也觉得平时他们的动手实践少了，平时课堂讲太多，给学生的感悟时间太少，不利于培养学生的数学核心素养。

五、通过实践获得圆锥曲线单元教学模式

国家提出学生数学核心素养的培养，我认为必须要根据学生学情制订适合学生的课堂模式，才能在课堂教学中更好地落实学生数学核心素养的培养，经过在不同的学校实地进行了圆锥曲线不同内容的教学，对于圆锥曲线单元的教学，我总结出如下的课堂教学模式：实例引入，动手实践，多媒体“几何画板”展示，总结定义，推导方程，运用定义和方程，课堂小结，课后作业。实例引入激发学生兴趣，发现生活中的数学美;动手实践人人参与，感受数学图形对称美;多媒体“几何画板”展示，体会信息技术功能的强大;总结定义，感悟数学的抽象、数学符号的简洁美;推导方程，体会数学学习、数学思维的严谨性和逻辑性;运用定义和方程解题，灵活熟练使用知识，更好地评价自我;课堂小结，回顾整节课的数学经历，总结知识，加深印象;课后作业，检测学习效果，完善自我，提升数学核心素养。

【参考文献】

[1]师轶.高中数学“四e”学习法[M].南宁：广西教育出版社，2017.

[2]陈向明.教育研究方法[M].北京：教育科学出版社，2013.

[3]周军著.教学策略[M].北京：教育科学出版社，2003.

[4]冉丽冰.发展和完善高中生数学认知结构的整体教学策略研究[D].陕西师范大学，2017.