基于概率理论的RV 减速器偏差建模理论分析

王飞跃，戚厚军，冯俊涛，谭 鹏，杨 嵩

（1.天津职业技术师范大学，天津300222；2.天津市高速切削与精密加工重点实验室，天津300222）

0 引言

RV 减速器是新兴起的一种传动机构，这是一个渐开线行星传动机构和一摆线针轮行星传动机构的构成的新的摆线针轮传动机构。RV 减速器具有一系列的诸如小尺寸、重量轻、相对较大的承载能力、传动比大、寿命长、传动平稳等优点，因此它是在机器人主体关节、数控机床、军事航天并广泛应用于等领域。

由于工业化4.0 中国制造2025 的实施[1]，中国工业机器人产业发展迅速。当RV 减速器从被研究出来起，国内外科研人员就围绕其传动精度的影响因素和如何提高传动精度做了大量而深入的研究。在RV减速器的应用分析中，其理论依据并不完善，引起了国内外学者的高度重视。最早有美国的一些学者Blanche[2]和Yang[3]基于一级单摆线并且采用纯几何的方法推导了零件加工装配误差及间隙对输出轴的传动精度影响。1986 年日本帝人公司研制出了RV系列减速机。较为成熟的产品有RV-E 系列和RV-C系列。此外，住友、三菱等厂家也有相当成熟的加工技术在减速方面[4]。文献[5-7]讨论了偏差的矢量模型，文献[8-10]针对第二类装配（零件主要通过装夹定位装置定位的装配，如汽车覆盖件等薄板类零件装配）零件的偏差累积，提出了偏差的状态空间模型。虽然前人已经做了很多RV 减速器的传动精度方面的深入研究，但在RV 减速机部件的偏差建模方向还是有些不足。

鉴于此，本研究从装配过程出发，分析影响装配精度的偏差源信息以及偏差的传递机理，从而以结合面为装配偏差的节点建立综合以上各模型优点的统一模型，用于偏差传递机理分析，旨在研究RV 减速器传动精度方面的分析。

1 RV 减速器的偏差源及其分类

1.1 RV 减速器的传动原理

RV 减速器是两级传动机构，其中，所述第一级变速器是将渐开线行星齿轮和所述齿轮轴啮合，即第一级减速机构，并且所述第二级变速器是摆线轮和针在针齿轮啮合工作，即为第二级减速机构。RV减速器传动是一种摆线针轮行星传动系统。其结构主要由太阳轮、行星轮、摆线轮、针齿壳、曲柄轴、行星架等组成，如图1 所示。

图1 RV 行星传动机构简图

RV 减速机是一种由两级减速机构构成的：

减速的第一阶段是一个直齿圆柱齿轮减速机构，其中，所述输入轴开始旋转从输入齿轮到正齿轮，并减速根据齿轮比。

第二减速部为一种摆线针轮啮合的差动齿轮减速机构，其中所述摆线针轮啮合一正齿轮连接到曲轴并成为第二减速部的输入。在曲轴的偏心部，RV齿轮安装有滚动轴承。此外，在机壳内的针齿仅比房车齿轮多1 个，排列在同一节距上。

传动原理：（4）针齿轮壳体被固定，并且所述太阳轮（1）被连接到输入轴渐开线中心轮顺时针移动时，它会推动安装在三个行星轮的圆（2）的中心120°旋转的轴和逆时针旋转，三个曲轴（5）和所述行星齿轮（2）固体甚至速度，两个相差180°摆线齿轮（3）阐述三个曲轴，啮合于固定针轮和围绕其轴线在针轮围绕其轴线的轨道将也朝顺时针方向转动。三对曲轴支撑轴承安装在行星齿轮架（6）上被推动以在摆线轮旋转向量1:1 的速度比传递。

1.2 RV 减速器偏差源的分类及分析

在RV 减速机的装配过程中，它的各部分在加工处理过程中可能出现的对应偏差。本文中提到的偏差源是在组装过程中每个零件的尺寸和形状，组装顺序和RV 减速的定位偏差的处理偏差。本文在静态组装研究RV 减速器的传动精度的偏差。偏差源可分为三类，即：

（1）零部件的几何位置的偏差被定义为所述第一类型的偏差E1。它可分为两种类型：几何定位以及定向的偏差。几何位置偏差有直径尺寸和对称偏差等等，如在RV 减速器中曲柄轴的直径的尺寸偏差;几何定向偏差角度包括尺寸偏差、平行度偏差、倾斜偏差、垂直偏差等，如输入轴轴线的平行度偏差和曲轴轴线。

（2）零部件的几何形状的偏差被定义为所述第二种类型的偏差E2。偏差包括平直度和线性轮廓偏差等在偏差的在组装过程中，累积的形状偏差参与诸如摆线曲线轮廓。

（3）零部件相配合时的偏差被定义作第三类型偏差E3。在RV 减速机的装配过程中，其零部件的组装顺序将导致部件的装配位置的一定的偏差。装配位置偏差也分为两种类型：一个是定向偏差，另一个是通过当所述部分适合的部件之间的间隙的部分的位置的不确定性引入的部分位置的定位偏差。

在RV 减速器装配过程中几何位置偏差和几何形状偏差以及装配位置偏差发生耦合，共同作用下影响RV 减速器在运动时传递的精度。

2 偏差模型

针对RV 减速器的传动特点，在RV 减速器偏差传递机理分析的基础上，对零件间配合关系进行了分析。研究RV 减速器装配过程偏差传递和累积的规律并分析影响装配精度的偏差源信息以及偏差的传递的原理。对于RV 减速器的多个偏差的传递的数学模型，通过使用各零部件装配偏差节点的接合面而建立。

2.1 特定偏差

（1）采用尺寸矢量的方法来表达偏差位置和方向。

式中：u，v，w 为尺寸矢量位置参数；α，β，γ 为尺寸矢量方向参数。

（2）RV 减速器各偏差源的偏差矢量以及零部件位姿变换矩阵表达如下：

式中：Δu，Δv，Δw 为偏差矢量位置参数；Δα，Δβ，Δγ 为偏差矢量方向参数

零部件的位姿变换矩阵如下：

①线性变换矩阵：

式中a、b、c 分别为左边沿着x、y、z 坐标轴的线性平移。

②旋转变换矩阵：

则RV 减速器零部件偏差的位姿变换公式：

2.2 偏差域

假设偏差域中的坐标系与几何坐标系固定连接，偏差域中的位置方向信息与偏差域中的位置方向信息相同。偏差的大小和边界与函数几何和上下偏差极限有关。对于几何位置偏差来说，偏差域主要为两平行平面偏差域和圆柱面偏差域，如图2 所示。

图2 偏差域

2.3 多元偏差统计模型

为了描述RV 减速器装配过程偏差传递和累积的规律，则需要构建偏差多元统计模型。假设结合面上偏差矢量各个方向分量都服从正态分布：

线性部分：

式中：μi表示均值；Si表示方差，1 ≤i ≤6；

Δu，Δv，Δw 为尺寸矢量位置参数；Δα，Δβ，Δγ 为尺寸矢量方向参数。

则多元偏差统计模型为：

式中，Sij为协方差，1≤i，j ≤6。

假设上下差为t1、t2。如图2 所示平行平面偏差域，偏差矢量有：

2.4 偏差源的评价

通过建立结合面上的偏差值评价模型，确定偏差本身的大小，是各方向偏差均值。下面主要根据三种不同的偏差源类型，对其偏差值的评价进行分析。

（1）几何位置的偏差评价

假设对于几何位置偏差确定量如下：

式中，Δu，Δv，Δw 为偏差矢量位置参数；Δα，Δβ，Δγ 为偏差矢量方向参数

自由度p 方向上的偏差值评价方法比较简单，其偏差的综合评价可以采用距离空间的2 范数进行表达即

距离偏差：

rα，rβ，rγ为角度偏差的作用半径

由公式（16）和（17）得，在自由度p 方向上的几何位置偏差如下：

线性偏差：

式中，μ1，μ2，μ3，μ4，μ5，μ6为偏差矢量的均值。

（2）几何形状偏差评价

在评价几何形状误差时，需要先计算得到拟合几何。零件的几何多为平面和自然二次曲面，如球面、圆柱面等，一般曲面方程如（18）式所示。

假设几何形状误差有n 个测量点，则零件坐标系中各测量点坐标为：

对应绝对值最小的特征值λmin的特征矢量即为平面参数的最小二乘解，即

由公式（16）和（17）得几何形状在自由度p 方向上的偏差值评价：

线性偏差：

（3）装配位置偏差如下：

线性偏差：

2.5 偏差源作用类型

RV 减速器零部件的偏差源的作用包括正累积、负累积和不相关，对偏差传递具有重要意义。结合尺寸链与物理学中电路串并联关系对比分析[11]，当偏差源与装配精度相关时，通过回路法来判断偏差累积的正负性。

以封闭环做为起始点，并沿着行走方向绘制一个单向箭头（“←”或“→”），然后沿通过尺寸线和尺寸界线方向，环绕尺寸链回路画箭头，凡是回路方向箭头与封闭环上箭头方向相同的组成环为减环，回路方向箭头与封闭环上箭头方向相反表示增环[12]。如图3 所示，A1为封闭环，A2、A3为组成环，用回路法可以迅速判断出A2、A3箭头方向与A1箭头方面相反，为增环。

图3 尺寸链中回路法判断增减环方法

2.6 零部件的偏差

基于三个线性和三个转动的偏差传递，RV 减速器的多元偏差矢量的数学模型的构建从线性和旋转方面六个维度表示如下：

线性偏差：

3 偏差传递机理

3.1 偏差源的有向图表达

基于RV 减速器三类偏差源的分类，现应用有向图的方法推导出RV 减速器各个零部件三类偏差源的有向图，如图4 所示，建立了五种基本偏差流模型，用偏差源的有向图进行表达如图4，gij是零件i上序列号j 中的功能几何模型上部分i 和dk是第一或第二类型偏差源模型。第三种类型的偏差源E3的可以被认为是所述第一类型的偏差的校正。

图4 五种偏差流

图4a 为同一零件内两几何的第一类偏差源E1，记为基本偏差流f1。图4b 为第二类偏差源E2，记为基本偏差流f2。图4c 为两零件间两几何的第一类偏差源E1，记为基本偏差流f3。图4d 对于第三类偏差源E3，可以看作第一类偏差的修正，影响图1c 所示第三类偏差流，此时的偏差流为修正偏差流，记为f4。图5e 中dij为零件i 上gij与gi0间的偏差源，且当零件几何同时受到n（n ≥1）个偏差作用时，可以用度为n的偏差流有向图表。

3.2 偏差传递方式

在分析了影响装配精度的偏差源种类及其表达之后，还需要对偏差的传递机理进行分析。偏差在零件之间的传递，通常基于两种方式：

（1）通过偏差几何进行传递

前一种情况发生在两零件接触配合时，前一零件配合几何的偏差由配合约束引起后装配零件的位姿变动；位姿变动与后装配零件自身的几何偏差发生耦合，实现偏差的累积。即连续偏差流，记为fa；

（2）通过结合面的位置偏差来进行传递

在装配功能方向上存在间隙配合时，由于配合间隙的影响，前一零件偏差累积发生间断；装配精度受后一零件装配位置偏差影响，重新开始传递。即断续偏差流，记为fb。

3.2.1 配合关系

配合关系是RV 减速器各个零件之间装配的基础，俩个零件的配合关系直接影响着零件之间的偏差的传递，零件间的配合精度直接影响着RV 减速器的传递精度，RV 减速器中配合关系可以分为以下几种：

（1）Mgg 型配合几何均为偏差几何g，配合精度由两个几何和三种类型的偏差源的影响。

（2）MDD 类型配合几何是参考几何D，配合精度仅受装配位置偏差的影响。

（3）MgD 型配合几何是同时由偏差几何g 以及基准几何D 来进行影响的。

零件间的配合的状态分为非间隙配合Mf 和间隙配合Mj。

（1）非间隙配合Mf 时，前一零件g1的配合几何偏差由配合约束引起后装配零件g2的位姿变动；位姿变动与后装配零件的配合几何偏差发生耦合，实现偏差的累积。

（2）间隙配合Mj 时，由于配合间隙的影响，g1零件偏差累积发生间断；装配精度受后一零件g2装配位置偏差ΔT2的影响，重新开始传递。

3.3.2 零件在不同配合状态时的偏差表达

Mgg 型在间隙和非间隙两种状态下的偏差有向图如图5 所示：

图5 配合状态

4 偏差模型的实例论证

基于零件偏差源的分类以及偏差的传递关系，现结合某零部件的轴孔配合装配如图6 所示。

图6 轴孔配合

其配合关系为MgD 型在间隙配合Mc 状态下的配合关系如图7 所示。

图7 Mc 状态配合关系

轴孔配合为间隙配合则其偏差有向图及其偏差统计量为E = △T2+ △d2，如图8 所示。

图8 间隙配合时的偏差统计量

即假设各偏差源均服从正态分布，零件1 直径d1=mm，零件2 直径d2=mm，在三维坐标系下用矢量法所构建的多元偏差矢量表达模型，基于极值的方法，所述偏差在从线性和旋转方面六个维度表示如下：

线性总偏差：d1= 0.4970 mm

旋转总偏差：ψ1= 0.0269 mm

基于三角函数相似原则，其偏差角度为Δθ =0.0573°，本数学模型应用极值法的计算的偏差值与理想值相差在0.11°之内，满足装配质量的要求。

5 结论

（1）根据RV 减速机的结构特点，各零部件的偏差源的原因进行了分析并对偏差源进行分类。对于RV 减速器的刚性部件的装配偏差源有几何位置、形状以及装配位置的偏差。

（2）根据RV 减速器的构造及其传动原理分析，结合RV 减速器曲柄轴的实例，建立三维坐标系，基于综合影响RV 减速器传动精度信息，对偏差传递进行分析研究，以结合面为装配偏差的节点综合偏差域本身的位置和方向信息的优点建立统一的偏差模型，为研究RV 减速器的零件偏差表达方面提供了一种全新的数学表达方法。实例证实该模型能正确分析装配过程偏差，为基于偏差流的应用研究奠定了理论基础。

（3）并为研究其它机械行业产品装配中零部件偏差表达和传递对其整机的传动精度的影响提供一种新的解决方案和思路。