“负数的初步认识”的深度解读与教学重构

魏光明

摘要：“负数的初步认识”是义务教育数学课程有理数版块的重要内容，但在第二学段和第三学段的教学定位不同。教学中，要准确把握“课标”定位，预见可能存在的教学困难，明晰学段之间的教学边界;要整体审视课程内容，把握负数概念的内涵和外延，知晓数系扩张的相应变化;要辩证看待“负数”的教学策略，分析负数引入的两种方式，解构负数认识的教学路径;要尝试突破“负数”的教学难点，区分负数表征的性质符号，突出负数教学的几何直观。教师要处理好学生认知水平和知识本质内涵之间的关系，在儿童与数学之间科学地架桥，促进负数概念的建构与理解，让学习真实地发生。

关键词：负数的初步认识;教学重构;小学数学

中图分类号：G623.5 文献标志码：A 文章编号：1673-9094（2020）10A-0059-05

关于小学阶段“负数的初步认识”的内容，人教版、北师大版、苏教版三个版本的小学数学教材都设置了独立的教学单元，不同的是被编排在不同年级（北师大版教材编排在四年级上学期，苏教版教材编排在五年级上学期，人教版教材编排在六年级下学期），单元名称和具体内容也略有不同。同时，关于负数的教学，学界还存在一些争议。教材的不同编排和学界的不同声音，推动了一线教师进行教学探索，开展教学研究，但也带来了一些困惑。基于此，本文对小学“负数的初步认识”的内容做出了解读，并提出相应的教学建议。

一、准确把握“负数”的教学定位

与其他知识教学一样，教师需要借助学情调查和文献分析，提前了解学生在负数学习时可能面临的困难。同时，要认真研读《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》），弄清当前教学的具体要求，明晰其在不同学段教学的侧重点以及前后学段之间的边界，以根据学生的认知起点和知识的逻辑起点来实施精准教学。

1.预见可能存在的学习困难

负数从“创生”到被认可经历了漫长、曲折的过程，连数学家也是花了1000年才建立负数的概念，又花了1000年才接受负数概念。美国数学家M.克莱因认为，“历史顺序通常是正确的顺序，数学家所经历的困难，正是我们的学生要经历的困难。”王传兵开展的“七年级学生对负数概念的理解”研究结论也证明了这一点：七年级学生在初期学习负数概念时存在理解困难，他们对负数概念的表征以“正数前面添加负号”的描述居多;没有理解“+”“-”号的三种意义，特别是当两种或三种意义的符号同时出现时容易出错;对于负数与生活情境的联系比较薄弱;对于负带分数，常把分数部分看成正数[1]。造成困难的一個重要的原因是，学生很难通过活动亲身体验负数而积累经验，没有在负数与实际生活情境之间建立联系，不能抽象出负数特有的性质。可以预见，对小学生而言，以静态、抽象、规定性呈现的负数概念，正确理解和应用是存在困难的。

2.研究标准规定的教学要求

在现行义务教育阶段的数学课程中，有关负数认识的内容在第二学段和第三学段均有编排，但两个学段的教学定位不同，教学要求也不同。《标准》对第二学段负数的教学目标定位是“在熟悉的生活情境中，了解负数的意义，会用负数表示日常生活中的一些量”。可以看出，《标准》对负数意义的要求是“了解”而不是“理解”。所谓“了解”是指“从具体实例中知道或举例说明对象的有关特征;根据对象的特征，从具体情境中辨认或者举例说明对象”;理解则是指“描述对象的特征和由来，阐述此对象与相关对象之间的区别和联系。”[2]显而易见，《标准》只要求第二学段的学生在具体情境中感受到负数“作为一种新的数”出现是必然的，知道正数和负数是表示相反意义的量，初步认识负数及其符号表示，知道0是正数和负数的分界线，0既不是正数，也不是负数，会正确读、写正数和负数，会用负数表示日常生活中的一些量并能够进行简单的解释。

3.明晰学段之间的教学边界

仔细研读《标准》第二学段和第三学段的“课程内容”，比较小学和初中的数学教材，我们会发现，并未要求第二学段的学生认识作为运算出现的负数，以及“+”“-”号作为性质符号与作为运算符号之间的区别，并未要求学生比较负数的大小，并未要求学生理解和掌握有理数的加减运算，体会负数对于有理数系减法运算的封闭性。这些内容是第三学段的教学任务。强调这一点，是因为我们需要对学科知识和儿童充满敬畏，不要因为个别学生或者少数学生通过各种途径提前了解了有关负数的内容，或者学生已经接触了有关负数的现实生活场景，或者教师认为负数的内容不难，可以教给学生更多，而人为地拔高教学要求。这样做，会给后知后觉的学生当下的数学学习造成困难，加剧两极分化现象。同时，还会因为学生的抽象思维水平不足，导致学得不透彻、理解有偏差，给第三学段有理数的学习带来更多的困惑。

二、整体审视“负数”的教学内容

我们需要将负数的初步认识置于有理数这一知识序列乃至更大的知识体系之中，清晰地了解有关负数知识的全貌，梳理有关负数知识的生长线索和主次脉络，理清负数与其他知识之间的联系，准确把握负数概念的内涵和外延，弄清因为数系扩张引起的相应变化，以提供有助于整体思考的学习素材和整体互动的学习场景，帮助学生形成对负数的深刻理解。

1.梳理负数版块的知识脉络

负数是有理数教学的重要内容，也是难点内容，在第二学段和第三学段的数学课程中均有编排，涉及正数和负数的概念、有理数的概念、绝对值、相反数、有理数的运算等。其中，小学阶段关于负数的初步认识主要涉及正数和负数的概念。这里就以苏教版小学数学教材为例，梳理一下负数版块包括的具体知识点：正数和负数的意义;正数、负数的读法与写法;0既不是正数，也不是负数;正数、负数和0的大小关系;用正数、负数表示日常生活中具有相反意义的量，解释正数、负数的实际意义;用数直线（数轴）上的点表示正数和负数，了解正数和负数的排列规律。当然，有些版本还涉及正、负数的大小比较，整数的结构等。与此同时，随着负数引入，数的范围就从正数和0扩大到了有理数，以前学过的一些知识在内涵、外延、规则等方面随之发生了一些变化。这就需要我们站在整体的角度来审视负数版块的内容，准确把握负数概念的内涵和外延，理顺负数知识的发展脉络，弄清负数与其他知识之间的关联。只有这样，才能避免在教学中出现知识漏洞和知识断层，给学生的学习特别是在第三学段负数的学习造成困惑。

2.把握负数概念的内涵外延

现行的小学数学教材一般是通过描述给负数下定义的。苏教版教材中这样描述：“像+20、+8844.4这样的数都是正数（正数前面的“+”可以省略不写），像-20、-155这样的数都是负数。”[3]北师大版教材中这样描述：“像10，200，8844.43……都是正数，可以在正数前面添上“+”号，如+10，200，+8844.43。像-1000，-500，-127，-100……都是负数。”[4]人教版教材中这样描述：“为了表示两种相反意义的量，如零上温度和零下温度、收入与支出等，需要用两种数。一种是我们以前学过的数，如3、500、4.7、3/8，这些数是正数;另一种是在这些数的前面添上负号“-”的数，-3、-500、-4.7、-3/8等，这些数是负数。”“正数前面的“+”可以省略不写。如果为了与负数对比，也可以加上正号，如+3，读作正三。”[5]从上面可以看出，人教版教材直接揭示了负数的主要内涵，即正数和负数表示两种相反意义的量，其他版本教材则隐含在编排的内容之中，需要在教学中引导学生充分感悟。此外，现行小学数学教材都是在初步认识分数、小数之后引入负数的，教学中应该让学生了解负数的外延包括负整数、负分数和负小数，以便在后续学习中更好地建立“有理数”概念和相关知识结构。

3.知晓数系扩张的相应变化

负数引入之后，有些学过的知识随之发展或产生变化。第一，0的意义变得更加丰富。除了表示没有之外，0还是正数与负数的分界线，0既不是正数，也不是负数，它是唯一的一个中性数;在有理数范围内，所有负数都比0小;可以根据需要，人为设定一个标准为0。第二，“+”号、“-”号的意义变得更加丰富。除了可以表示加、减运算符号之外，“+”号、“-”号还可以看作“正数”“负数”的性质符号。此外，“-”号可以用来表示相反数，把“-”写在一个任何有理数（包括0）的前面，可以表示这个有理数的相反数。第三，整数、分数和小数的外延扩容。认识负数之后，整数包括正整数、0和负整数三部分。北师大版教材中就这样描述：“像-10，0，200……都是整数。”[6]相应地，分数包括正分数和负分数，小数也包括正小数和负小数。第四，加法和减法运算的“规定”出现变化。在有理数范围内，被减数可以小于减数，减法运算实现了封闭;和可能比加数小;根据“减去一个数等于加上这个数的相反数”，可以将减法转化为加法，使两种运算统一成一种运算。虽然上述许多内容安排在第三年学段教学，但教师应该立足整体进行长线设计，并基于《标准》做好阶段落实。

三、辩证看待“负数”的教学策略

我们需要从整体走向细节，抓住影响负数教学的关键，了解有关负数知识的数学文化，特别是负数产生的不同背景，科学分析负数引入的常见方式，解读并重构负数初步认识的教学路径，以根据学生的实际情况和负数的丰富内涵，合理地设计教学流程，选择教学方法和策略，使学习真实地发生。

1.了解负数产生的两个背景

从数学发展的历史看，负数的产生主要有两个源头或背景。一个是源于生产生活实践的需要。在日常生活或生产中，人们经常会遇到具有相反意义的量，比如公司的盈利与亏损，家庭的收入与支出，库存的增加与减少。当运用原有的数无法简约、准确地表示这两种相反意义的量时，比如，超市购进50袋大米与卖出50袋大米，只用一个50来记录很简洁，但无法区分属于哪一种行为，人们就会想要创造一种新的数来表示，以解决这一类现实问题。从这个角度看，正数和负数可以看成是从现实世界中大量客观存在的、具有相反意义的量中抽象出来的数学模型。另一个是源于完善数学内部逻辑结构的需要。人们在进行减法运算或者解方程时，有时会遇到“不够减”的情形，于是就会产生引入一种新的数来表示运算结果的需要，以解除减法运算中的某些限制，保证减法运算的封闭性，同时又保持原有的运算规律。负数的产生，促进了数学自身的发展，实现了从非负有理数扩展到有理数，进入了一个新的领域。

2.分析负数引入的两种方式

对背景的认识不同，引入负数就会选择不同的方式。第一种是选择生产生活中的数学原型引入。前面提及的三种版本教材都是利用学生熟悉的生活素材引入负数的，比较多的是温度计、银行存折等。大多数教师一般也采用这种方式。事实上，第二学段的学生已经接触过许多用“负数”形式表示的场景，也知道许多表示相反意义的量。比如，天气预报中的零下温度、电子支付中的支出费用数额、小区或购物中心地下停车场的位置等。第二种是从数系扩张的需要引入。有少数教师和研究者借助解决问题时“不够减”或“标准”发生变化的情境引入负数。上海市实验学校在小学一年级引入负数就采用了这种方式[7]。客观地说，两种引入方式各有利弊。第一种方式，有利于唤醒学生已有的经验，经历负数“创生”的过程，但可能会淡化0的再认识，再创造过程可能会占用较多的时间，可能会缺少必要的抽象。第二种方式，有利于借助強烈的认知冲突让学生体会负数产生的必要性，但可能会超越小学生的认知水平和理解能力，给他们的学习带来困难，尤其是理解负数含义的困难。

3.解构负数认识的教学路径

教学有法，但教无定法。在负数的教学过程中，我们可以依据“问题情境—建立概念—揭示联系—解释应用”的流程渐次展开。第一步，呈现学生熟悉、会产生认知冲突、具有一定挑战性的问题情境。比如，呈现小微企业的收入与支出，让学生计算几个月的盈余或亏损，以勾连数学与生活的联系，激发学生的学习兴趣。第二步，要求学生用“一个数”简约地表示盈余和亏损的数据，使得学生在矛盾冲突中逐步聚焦符号表示，突出“创生”的性质符号，初步体会可以用两种数表示相反意义的量。再让学生用正、负数去表示一些相反意义的量，比如，上车和下车的人数，零上和零下的温度等，使学生理解负数的含义。通过比较和分类，给负数下一个描述性定义，揭示知识的数学实质。第三步，突出“标准”，在情境中丰富0的含义，认识到“0既不是正数，也不是负数”，从不同角度感悟有理数、负数、整数的整体结构，在数学知识之间建立广泛的关联。第四步，回到生活中去，寻找相反意义的量并用合适的数表示，以及解释正、负数在具体情境中的意义，或运用所学知识做出判断，在应用中巩固和深化对负数的认识。当然，也可以设计其他的流程和路径。只要记住一点，选择什么方法，设计什么路径，组织什么活动，最重要的是基于儿童的接受能力，激活他们的思维，让学习真实发生。

四、突破“负数”的教学难点的策略

我们需要全面分析学生在认识负数时经常会面临的学习困难，在此基础上，通过比较优选最有利于负数概念引入的数学原型，学会区分负数表征的性质符号与常见的运算符号，并充分发挥几何直观在理解抽象概念、解决疑难问题中的重要作用，以帮助学生及时澄清可能产生的数学迷思，化解可能出现的理解错误，突破学习的困境，获得成功的体验。

1.优选负数引入的数学原型

对于认识负数选择温度模型是存在争议的。三种教材的编排和一线教师的教学通常是从观察温度计开始，借助零上温度和零下温度引出正、负数的。张奠宙等学者则认为“温度”不是正、负数的好模型[8][9]，因为温度只是人为规定了一个零点和单位长度，然后据此进行刻画;温度不是可比的数量，2℃并不是1℃的两倍;温度不可加，2℃和1℃相加没有任何意义。事实上，数除了用来表示之外，还用来运算。现在，摆在我们面前的就是这样的情形：从数学结构的逻辑看，可从“不够减”模型引入负数;从生产生活实践的角度看，可从收支、盈亏模型引入负数[10]。需要提醒的是，我们面对的是小学生，他们更容易接受和理解自然状态下意义相反的量。综合以上分析，小学阶段可以尝试选择兼具“可以进行运算”和学生熟悉的生活经验两个特征，表示自然状态下意义相反的量的模型，比如盈亏模型。笔者之所以不完全反对从温度计引入正、负数，是因为它有很明显的优点，比如，作为“标准”和分界线的0天然存在，可以变式为“数轴”。

2.区分负数表征的性质符号

前文提及有些七年级学生也不能理解“+”“-”号的三种意义，原因之一就是作为性质符号的“+”“-”号是非常抽象的。可见，区分它们是作为运算符号还是性质符号，是小学和初中关于负数教学的难点。要解决这个问题，可以分三步走。第一步，在第二学段初步认识负数，用正数和负数表示相反意义的量时，要重视引导学生结合具体情境，理解在这里赋予“+”号和“-”号的意义，知道“+”号、“-”号和后面的正数连在一起形成的是一个整体，是一个数[11]，要在用数表示、解释意义、读数和写数等环节强化整体认知。事实上，负数应该是在正数前面添加“-”号的过程和以一个整体看作一个数的结果的统一体。所不同的是，正数的性质符号在书写时可以保留，也可以省略。到了第三学段，就可以把任何一个非0有理数看成由性质符号和绝对值两部分组成的。第二步，在后续学习中要有意识地引导学生与先前加、减运算中的运算符号比较，从赋予符号具体意义的角度，初步弄清作为性质符号和运算符号的区别。第三步，在第三学段教学中，结合解决实际问题，引导学生在同一道算式中区分“+”“-”号是看作运算符号还是性质符号。

3.突出负数教学的几何直观

借助几何直观，可以帮助学生更好地认识和理解负数。这里以数直线（有些教材中称为数轴）为例做些讨论。数直线是一种形象、可视的脚手架，借助数形结合的手段，比如，用数直线上的点表示数，将有理数与数直线上的点建立一一对应的关系。在此基础上，可以引导学生通过观察、推理，感悟数的排列顺序，知道“负数都小于0，也小于正数”（教材中即有这一要求），了解距离0越远的负数就越小。通过想象数直线向两端无限延伸，感悟正数和负数的个数是无限的，没有最大的正数，也没有最小的负数;通过比较与0点的距离，感悟、理解负数和相应的正数具有对称性，它们是一对数量（绝对值）相等、方向（意义）相反的數;通过描点运动，并借助情境中的事理，渗透正、负数加法和减法的直观运算。需要说明的是，上面提到的任务并非全部要在小学完成，也并非要求学生达到理解和掌握的程度。

众所周知，无论是日常教学，还是教学研究，能听到不同的声音，无疑是一个好的现象，说明实践探索和理论研究都没有停步，都在努力寻求更多的突破。我们只要把握一个原则即可，那就是作为教育的数学和作为科学的数学是有很大区别的。前者在保证学科本质内涵的前提下，首先考虑的是“人”，即必须易于被学生学习和理解，顺应学生的认知方式和思维规律，能促进学生积极、主动地思考，掌握基本的思考方式，感受到思考方式背后的价值诉求。

参考文献：

[1]王传兵.七年级学生对负数概念的理解[D].上海：华东师范大学， 2007：57.

[2]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011版）[M].北京：北京师范大学出版社， 2012：21，72.

[3]孙丽谷，王林.义务教育教科书·数学（五年级上册）[M].南京：江苏凤凰教育出版社， 2015：2.

[4][6]刘坚，孔企平，张丹.义务教育教科书·数学（四年级上册）[M].北京：北京师范大学出版社， 2014：86.

[5]卢江，杨刚.义务教育教科书·数学（六年级下册）[M].北京：人民教育出版社， 2014：3.

[7]张琦.早期负数教学的实践与思考[J].小学数学教师，2018（9）：47-50.

[8]张奠宙.构建学生容易理解的数学教育形态——数学和人文意境相融合的10个案例[J].教育科学研究， 2008（7）：48-50.

[9]张奠宙，巩子坤，任敏龙，张园，殷文娣.剖析“用温度计引入负数”的优缺点[J].小学数学教师，2017（2）：4-6.

[10]章飞，凌晓牧，陈蓓，等.小学数学研究与教学指引[M].南京：南京大学出版社， 2016：149.

[11]史宁中.核心问题——小学数学教学中的基本概念与运算法则[M].北京：高等教育出版社， 2013：103.

责任编辑：赵赟