广东 李文东
解析几何中的参数范围问题是高考的重要考查内容,这一类问题综合性强、变量多、涉及知识面广,解答这类问题往往需要运用函数与方程思想、数形结合思想等,将问题转化为求函数的值域或最值等来解决,是高考中的难点问题.这类问题能充分考查逻辑推理、数学运算、直观想象、数学抽象等核心素养,因而备受命题者的青睐.下面谈谈此类问题常见的求解策略.
策略一:构造目标参数的函数
把所讨论的参数作为一个函数,选取一个适当的参数作为自变量来表示这个函数,通过讨论函数的值域来求参数的变化范围.此类问题细分如下.
类型1.题中已给参数范围,只需将目标参数用已知参数表示出来
( )
解:∵点B和点A关于原点对称,∴点B也在椭圆上,设左焦点为F′,
根据椭圆定义|AF|+|AF′|=2a,又|AF′|=|BF|,
∴|AF|+|BF|=2a,①
O是Rt△ABF的斜边中点,∴|AB|=2c,
又|AF|=2csinα,② |BF|=2ccosα,③
将②③代入①得2csinα+2ccosα=2a,
点评:题中已给α及其范围,只需将椭圆离心率e用α表示出来即可.
类型2.选取适当的参数,将目标参数用已知参数表示出来
(1)求椭圆C的方程;
设E(x1,y1),F(x2,y2),M(x0,y0),
①当m=0时,k=0;
点评:通过设直线l的方程将参数k用m表示出来,然后利用基本不等式探求参数的取值范围.
(1)求椭圆E的方程;
又判别式Δ=36k2t2-4(1+3k2)(3t2-12)>0,得12k2-t2+4>0,②
联立①②有1 当点M在椭圆内,即-2 综上可知,参数t的取值范围为{t|-2 点评:类似于例3,只是这里还需要根据二次方程有解的条件,运用判别式先求出k的范围,这类问题十分普遍,同时需要注意3k2=t-1中隐含了t>1的条件. 策略二:利用点或曲线的范围 (1)求双曲线的方程; 解:设椭圆上A(x1,y1),B(x2,y2)两点关于直线l对称,直线AB与l交于M(x0,y0)点. ∵A,B为椭圆上的两点,∴M点在椭圆的内部, 策略三:运用几何性质 解:由双曲线的定义可知:|PF1|-|PF2|=2a,又∵|PF1|=2|PF2|,∴|PF1|=4a,|PF2|=2a,∵三角形两边之和大于第三边,∴|PF1|+|PF2|≥|F1F2|,即6a≥2c,得离心率e≤3,又e>1,∴双曲线离心率的取值范围为(1,3]. 解:显然x=0不满足题设条件.可设l的方程为y=kx+2,设A(x1,y1),B(x2,y2). 又y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4, ∴0 策略四:运用数形结合探求参数范围 例9.直线l:y=kx+1与双曲线C:2x2-y2=1的右支交于不同的两点A,B,求实数k的取值范围.