新旧高中数学课标中必修课难度的定量比较研究

林毅 周莹

摘   要

高中数学必修课程内容是全体学生必要的数学学习内容，准确把握课程标准中必修课程内容的要求及变化对教师实施教学极为重要。选取《普通高中数学课程标准（2017年版）》与《普通高中数学课程标准（实验版）》中的必修内容为研究对象，从课程广度、课程深度、课程时间及课程难度四个维度进行定量比较研究，以期为教师在教学实践中落实《普通高中数学课程标准（2017年版）》的课程要求提供实证依据及思考。研究结果表明：两版课程标准在必修课程内容的广度与深度方面基本持平，在课程时间与难度方面相差较大。因此，教师应当在教学中以数学核心素养为目的，有效实施多元教学，以单元教学设计为引领，高效规划课时安排。

关键词

课程标准  课程广度  课程深度  课程时间  课程难度

为了落实“十八大”提出的教育“立德树人”的根本任务，教育部于2014年提出核心素养以及学科核心素养，并且明确要求“研究制定学生发展核心素养体系和学业质量标准”，这个要求成为新课程标准修订的重要原则[1]。通过对2003年颁布的《普通高中数学课程标准（实验版）》（以下简称《实验版》）的问题进行修订形成了《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《2017年版》）。对比两个版本，课程结构从必修课程与选修课程并行的局面，转变到必修课程、选择性必修课程和选修课程三足鼎立的局面。其中，必修课程仍是全体学生必要的数学学习内容，然而其定位从“满足未来公民的基本数学需求，为学生的进一步学习提供必要的数学准备”，转变为“为学生发展提供共同基础，是高中毕业的数学学业水平考试的内容要求，也是高考的内容要求”。本研究基于史宁中等人提出的课程难度模型，采用课程广度、深度、时间和难度四个维度量化研究《2017年版》中必修课程内容的变化，并定性探究课程内容变化对教学实践的启示。

一、课程内容的整体比较

依据两版课程标准的必修内容结构比较分析其系统性特征。《实验版》必修课程内容分为5个部分，每个部分有特定的数学专题组成[2]。然而5个模块之间呈现割裂状，关联性不强，模块化的课程结构破坏了数学内容之间的逻辑联系。例如函数主题的内容包括函数概念、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数、数列等分散在三个模块中[3]。《2017年版》必修课程在整体内容上突出函数、几何与代数、概率与统计、数学建模活动与数学探究活动四条主线，较好反映出高中数学学科特点，在数学逻辑体系、内容主线及知识之间的关联，数学实践和数学文化的融合等方面有明显的改善[4]。具体来看，《2017年版》在主题1部分增添了预备知识，遵循了学生认知规律的发展，为衔接初高中数学提供了桥梁，有助于学生适应高中数学课程的教学。把数学建模活动与数学探究活动作为一条内容主线提出也是《2017年版》的亮点之一，数学建模、数学探究与数学文化内容渗透在各模块和各专题之中，为提升学生的数学学科核心素养提供新方向。为方便后续量化比较，本文将以三条内容主线（函数、几何与代数、概率与统计）为基础划分必修课程内容。

二、课程难度的定量分析

2005年，史宁中等人提出影响课程难度的三个主要因素有课程深度、课程广度和课程时间，并以这三个因素构建了刻画课程难度的定量模型：N=+ 。？坠为加权系数，0<？坠<1。其中N表示课程难度，S表示课程深度，G表示课程广度，T表示课程时间，表示单位时间内的课程深度，即可比深度， 表示单位时间内的课程广度，即可比广度[5]。该模型把课程难度评价经验理性化，使得课程难度研究由定性转向定量。

1.课程广度比较

课程广度是课程的知识含量，可用课程含有“知识点”的多少来衡量[6]。本研究通过统计新旧课程标准中内容条目所涉及的知识点的个数来表征课程广度，统计结果见图1。从整体来看，虽然《2017年版》课程标准中对部分内容进行了调整和删减，如算法初步内容的删除，三角恒等变换、解三角形、基本初等函数Ⅱ整合为三角函数内容，数列及解析几何初步等内容调整至选择性必修课程，然而必修课程的总体课程广度与《实验版》基本持平。这表明，《2017年版》必修课程的总体知识容量仍然保持《实验版》的水平，这与《2017年版》更为注重知识的细化与拓展有关。从部分来看，《2017年版》函數内容的课程广度与《实验版》相差无几，几何与代数内容的课程广度略显单薄，概率与统计内容有所增加。概率与统计内容增加的部分主要是对统计知识的纵深拓展和基本概念的补充说明，譬如样本估计总体的集中趋势参数及其统计含义、离散趋势参数及其统计含义、百分位数及其统计含义以及样本估计总体的取值规律。

2.课程深度比较

课程深度是课程目标对知识内容的要求程度[6]。以新修订的布卢姆认知理论为依据，参考曹一鸣等人的划分结果[7]，以新旧课程标准的目标行为动词进行统计分类，本文将课程中出现的目标行为动词划分为逐层递增的A、B、C、D四个层次。为减少赋值误差，对各个知识点所对应的行为动词进行赋值并求和，随后算出平均值，以该平均值作为对应内容的课程深度。如图2所示，《2017年版》比《实验版》的平均课程深度要略低，课程目标对三个内容主线的要求基本处于B层次与C层次之间。就知识点的认知水平分布情况来看，《2017年版》中A层次和B层次的知识点占比分别为28.7%、37.8%，C层次和D层次的知识点占比分别为28%、5.5%。究其缘由，新版课程标准中必修课程内容的定位调整为满足学生的高中毕业要求，侧重于学生对数学知识的基础内容的了解与理解。

图2  课程深度统计结果

3.课程时间比较

课程时间是学习课程内容所需要的时间，即“课时”。《实验版》中必修课程分为5个模块，每个模块的课程时间为36课时，则总课时为180课时，而《2017年版》中必修课程的总课程时间为144课时。从整体来看，《2017年版》所要求的课程时间较少。由于《2017年版》中对内容主题的各个部分没有明确的课程时间安排，为方便统计，本文假设预备知识中的四个部分课时安排均等，即集合、相等关系与不等关系、从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式的课时安排约为5课时。两个版本各主线内容的课时安排见表1。

表1  主线内容课程时间统计结果

4.课程难度比较

根据课程难度的计算公式N=+，加权系数？坠取值为0.5，分别计算三条内容主线及总体课程难度系数，结果见图3。数据显示，《2017年版》各个内容主线及总体的课程难度系数均高于《实验版》，总体课程难度系数为0.644，其中概率与统计内容的课程难度系数高达0.952。从统计层面来说，两版课标在课程广度系数与课程深度系数方面不相上下，但由于课程时间安排的大幅缩减，造成《2017年版》课程难度系数的涨幅较高。

图3  课程难度统计结果

三、结论与启示

1.以数学核心素养为目的，有效实施多元教学

《2017年版》在《实验版》中的“五大能力”的基础之上提出六大数学学科核心素养，即数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。由于课程目标更为综合化、更具挑战性，就在一定程度上导致课程内容的难度系数有所提高。在综合的素养培养要求之下，单一的教学方式亟待改变，需要教师具有多元教学的技能与思想。多元教学是根据教学内容、教学条件、教学对象、教学目标等教学因素的差异性，采用各种方法灵活地进行教学，实现教学模式由单纯的知识传授向应用、创新能力与综合素质培养的转变[8]。因此，教师针对不同的课程内容需采取与之适应的教学方法，不拘囿于传统教学模式的束缚，大胆创新教学形式与方法。如在数学建模教学中，教师可以引导学生使用数学软件、编程软件等现代教育技术完成数学模型的求解及验证，可以带领学生参与数学建模竞赛体验数学建模的乐趣与精彩，还可以鼓励学生成立科研项目小组利用数学建模方法解决实际问题。让学生在多种形式的教学环境下，经历数学发生、发展及应用的过程，提升学生学习数学的兴趣及主动性，为发展学生的学科核心素养提供源动力。

2.以单元教学设计为引领，高效规划课时安排

造成《2017年版》中必修课程难度增加的局面，很大程度上可归因于要求完成课程内容的课时大幅缩减。因此，教师在实施课程标准的教学实践上将面临的一个挑战就是如何高效规划课时安排。新课标中将内容以“主线—主题—核心内容”的系统化形式呈现，这便凸显了单元教学设计在完成系统化知识教学时的重要性。数学单元教学设计是在整体思维指导下，从提升学生数学核心素养的角度出发，通过教学团队的合作，对相关教材内容进行统筹重组和优化，并将优化后的教学内容视为一个相对独立的教学单元，以突出数学内容的主线以及知识间的关联性，在此基础上对教学单元整体进行循环改进的动态教学设计[9]。单元教学设计是在单元流程设计的基础之上考虑课时流程的设计，既以高屋建瓴之势统筹整个单元教学计划，又兼顾考虑每个课时之间的关联与整合，形成耦合紧密的课时教学方案，这为教师破解课时局限、提高整体教学效益提供了一个可行途径。单元教学设计可以以某一核心知识、数学思想或实际问题等作为主线组织教学内容。譬如，以三角函数作为学习主题进行单元教学设计，以数形结合的思想串联函数与方程、函数与不等式形成一个单元，以产品质量检测、教学水平测查等实际问题的解决为学习线索进行简单随机抽样的单元教学设计。通过单元教学设计帮助学生在有限的课时安排中，有效进行数学核心内容的深度学习，促进对数学知识的本质理解，提升学生的数学关键能力及核心素养。

参考文献

[1] 史宁中.高中数学课程标准修订中的关键问题[J].数学教育学报，2018，27（01）.

[2] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）[S].北京：人民教育出版社，2003.

[3] 胡凤娟，吕世虎，张思明，等.《普通高中数学课程标准（2017年版）》突破与改进[J].人民教育，2018（09）.

[4] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2017.

[5] 史宁中，孔凡哲，李淑文.课程难度模型：我国义务教育几何课程难度的对比[J].东北师大学报：哲学社会科学版，2005（06）.

[6] 李淑文.中日两国初中几何课程难度的比较研究[D].长春：东北师范大学，2006.

[7] 曹一鸣，王万松.高中概率统计内容设置的国际比较——基于15个国家数学课程标准的研究[J].数学教育学报，2016，25（01）.

[8] 冉匯真，杨兴坤，朱家明.论多元教学方法在模块教学中的应用——以《公共关系学》课程教学为例[J].中国成人教育，2014（11）.

[9] 吕世虎，杨婷，吴振英.数学单元教学设计的内涵、特征以及基本操作步骤[J].当代教育与文化，2014，08（04）.

[作者：林毅（1994-），女，广西桂平人，广西师范大学数学与统计学院，硕士生;周莹（1962-），女，浙江嵊州人，广西师范大学数学与统计学院，教授，硕士。]

【责任编辑  郭振玲】