基于一种分段泛函的马尔可夫跳变系统的采样控制

王庆,张益

(东南大学 仪器科学与工程学院，江苏 南京 210096)

0 引 言

马尔可夫跳跃系统(MJSs)是根据对服从马尔可夫过程的系统进行建模得到混杂随机系统,MJSs系统的状态控制模型是与马尔可夫切换规律息息相关的．在具备多模态特性的实际工程问题中有着十分重要的应用背景,如制造系统、经济系统和导航定位系统等,近几十年来受到了广泛的关注[1]．如:文献[2]针对高速列车的定位问题,研究了按照马尔可夫概率转移矩阵进行模型间切换的交互式多模型算法,大大提高了高速列车跟踪定位的精度．文献[3]将移动机器人系统测量数据和运动参数进行融合,计算在整个状态空间上的概率分布,并引入马尔可夫假设,研究了可移动机器人的导航定位问题．另外,在工程中各种控制问题中,稳定性分析是保障系统正常运行的前提[4-5]．文献[5]强调了连续运行参考站(CORS)系统基准网自身的稳定性是保证其系统正常运行的关键点,并介绍了基准站稳定性分析的流程．在稳定性分析中,Lyapunov稳定性定理是一种十分流行的理论方法．文献[6-7]使用Lyapunov泛函研究了MJSs稳定性问题．例如,文献[6]研究了一类具有模态转移依赖的连续时间半马氏跳跃系统的随机稳定性问题．在文献[7]中研究针对不完全转移概率知识的奇异马尔可夫跳跃系统,研究了其稳定性问题,并提出了一种H∞状态反馈的控制方法．

另一方面,随着现代数字通信技术的迅速发展,在各个领域中,传统的控制器逐渐被精度高、性能稳定的数字控制器所取代．并且数据采样控制方法只需要采取系统状态的瞬时采样信息,大大地减少了大量的信息传输,并使得控制效率有着极大的提升．但是,在应用当中,数字控制器的非连续信号会影响系统的稳定性．为了让系统正常运行,即保证系统的稳定性,数据采样系统在众多实际领域引起了极大的关注[8-11]．比如在航海导航定位中[9-11],文献[10]研究了基于数据采样船舶定位系统的H∞无穷控制问题,使用采样系统方法将线性船舶定位系统转变成了时变时滞系统,并分析了它的稳定性．文献[11]基于数据采样控制方法,针对船舶导航定位系统建模成数据采样系统,分析其渐进稳定性问题并得到了一个少保守性的稳定性判据．数据采样系统是由一个连续时间系统和一个涉及采样器和控制器的不连续控制器所组成．一般情况下,采样方式可以分为两种,一种是周期采样,即固定时间段采样．另外一种是非周期采样．然而,在实际应用中,非周期采样更符合实际,因此,许多研究者已在文献 [12-14]中研究了此问题．

结合非周期采样控制去研究稳定性问题时,对于确定系统,很多学者都使用了构建Lyapunov泛函的方法．文献[15]和文献[16]为了放松泛函中的矩阵的限制条件,分别提出了闭环泛函和双边闭环泛函．这很大程度上减少了稳定性的保守性．然而,在像MJSs这样的随机系统研究中,成果却很少．在文献[17]研究了连续时间不确定MJSs的鲁棒采样数据控制问题．通过构造不连续的李雅普诺夫函数,提出了一种稳定性判据．文献[18]研究了连续时间不确定MJSs的无源鲁棒采样数据控制问题．文献[19]基于此,解决了文献[17-18]中未考虑控制器的问题,并在采样区间内通过构建一个分段函数和状态空间,得到了相对比较好的稳定性判据．然而,文献[19]在研究MJSs稳定性中只考虑了采样区间(tk,t)的状态信息,而没有考虑[t,tk+1)的状态信息，故仍有待进一步去研究．

本文研究了非周期采样条件下的MJSs的稳定性分析问题．在文献[19]的基础上,把采样区间改进划分为(tk,t-ah1(t)),[t-ah1(t),t),[t,t+bh2(t))和[bh2(t),tk+1)四个部分并建立相关的状态空间表达式．在这个区间内的分段参数a和b是十分灵活的,让构建出来的泛函极具优势,与此同时使用积分不等式法估计泛函导数中的积分项,得到了以线性矩阵不等式存在的稳定性判据．最后,在仿真中,将稳定性判据应用于非线性质量弹簧阻尼器系统和船舶定位系统,其仿真结果表明了该稳定性判据的优越性．

全文有标号定义:上标T代表转置．Rn与Rn×n表示n维向量和n×n维矩阵．矩阵P>0 (P<0)代表矩阵P是对称正定(负定)的．He{Z}代表矩阵Z+ZT．*代表块对阵矩阵中的对称项．M为系统模式数．Col{x1,x2, …,xn}代表一组列向量．

1 问题描述

考虑如下马尔可夫跳变系统模型:

(1)

式中:x(t)为状态分量;u(t)为控制输入;Κ(n(t))为控制增益矩阵．

设{n(t),t>0}为连续的马尔可夫链,在一个有限的集合M={1,2,…}内取值,并有转移概率矩阵Λ=πcd满足:

Pr{n(t+Δt)=c|n(t)=d}

(2)

(3)

(4)

故而,控制输入可表述为

u(t)=K(n(t))x(t-h1(t)),t∈[tk,tk+1),

(5)

结合式(1)和(5),对于t在[tk,tk+1)内,数据采样MJSs模型为

x(t-h1(t)).

(6)

接下来给出一个引理:

引理1[20]:存在任意正定对称矩阵U,两个标量β>α>0和可导函数w(s),任意向量ξ∈Rm,以及任意矩阵N∈Rn×m,则有下面不等式成立:

ξT(β-α)NTU-1Nξ.

2 主要结果

把采样区间[tk,tk+1)改进划分为(tk,t-ah1(t)),[t-ah1(t),t),[t,t+bh2(t))和[bh2(t),tk+1),又由于数据采样有采样信号之间是不变的,有如下两个状态空间表达式．

(7)

式中：C=B(n(t))Κ(n(t))x(t-h1(t))；a和b是属于0到1之间的可调参数和h2(t)=tk+1-t．

这种分段方法是基于文献[19]基础上提出来的,把文献[19]没有考虑的采样区间[t,tk+1)分段成了[t,t+bh2(t))和[bh2(t),tk+1),同时建立了相应的状态空间表达式,这种方法必然非常有效地去减少结果的保守性．

(8)

则系统公式(6)随机稳定．

其中:

F1=Ace1+BcKce2;F2=Ace3+BcKce2;

E13=e1-e3;E54=e5-e4;PcP(n(t)=c);

AcA(n(t)=c);BcB(n(t)=c);

KcK(n(t)=c);

ek=[0n×(k-1)n,In,0n×(6-k)n]T,

k=1, 2, …, 6．

证明:构建如下Lyapunov泛函:

(9)

其中

V1(t)=xT(t)Pcx(t);

F3+Γ1+Γ2+Γ3+Γ4+Γ5}ξ(t);

其中,

利用引理1处理上面的积分项,可得

综上所述,则

(10)

运用Schur补定理,若式(8)成立,则系统(6)随机稳定．

故证明完毕．

本文的主要目的是为了突出分段方法和引入两个状态空间表达式的新颖性和优越性,所以在构建的泛函中没有增加增广泛函项,利用此分段泛函方法,可适当增加一些增广泛函项去应用于其他控制问题或控制系统中,为了突出本文的分段泛函方法的优越性,泛函中不加分段泛函项,给出如下推理．

(11)

其中：

ek=[0n×(k-1)n,In,0n×(6-k)n]T,k=1, 2, …, 6.

证明:构建如下Lyapunov泛函:

(12)

其中

接下来的过程同定理1的证明过程一样,故省略．证明完毕．

定理和推论之间的差别在于总的泛函中无分段泛函,同时定理和推论的证明过程同文献[19]的方法一样不需要使用逆凸定理,这形成了本文与文献[19]的推论有很好的对比．

值得注意的是,定理和推论均是基于数据采样而得到的稳定性判据,它们可应用于导航定位系统的控制问题,如船舶导航定位系统的鲁棒H∞控制和H∞容错控制[9-11]．

3 数值例子

例1:给出一个非线性质量弹簧阻尼器系统[18],并有参数:

这里κ1=0,κ2=0.2,κ3=0.4和κc=κ(n(t)=c),当c=1, 2, 3时有:

K1=[-0.5805 -0.4185],

K2=[-0.5205 -0.3870],

K3=[-0.4454 -0.3500],

表1 例1中采样区间最大值

图1 u(t)=0时的状态轨迹

图2 状态轨迹

其中:

和

根据定理中的数据采样控制方法,应用于船舶定位系统中,所得到的采样最大值如表2所示．由表2可知,通过对比文献[9,11-12]的结果,本文提出的方法明显优于相似文献[9,11-12]的结果,相对文献[12]提升比为174.2%,相对文献[10]提升比为71.2%,相对文献[10]提升比为65.9%,从而说明了本文的数据采样控制方法的优越性．

表2 例2中采样区间最大值

4 结 论

本文通过把采样区间划分为四个区间,研究了MJSs的采样控制问题．针对这个系统,在采样区间内建立两个状态空间表达式,利用其建立了一种新颖的分段泛函,同时结合积分不等式方法,获得了稳定性判据．最后通过两个实际例子,建立仿真,说明了本文方法的优越性．