本期练习类题目参考答案及提示

弦图问题赏析

1.C  2.B （设小正方形的边长为x，则（x+3）²+（x+4）²=7².整理得x²+7x-12=0.S_长方形=（x+3）（x+4）=x²+7x+12）

“勾股定理”优题库

1.D  2.D  3.A  4.D  5.D    6.60/13  7.√5-1  8.5  9.√13  10.511. 11√5  12.1  13.>  14. 10

15.所作图形如下所尔，其中点A即为所求.

16.（1）逆命题是“两条直线平行，内错角相等”，是真命题.

（2）逆命题是“如果两个实数的立方相等，那么这两个实数相等”，是真命题.

（3）逆命題是“（角内部）到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上”，是真命题.

（4）逆命题是“直角三角形中，一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的角是30°”，是真命题.

17.（1）BC=12; （2） CD=9.6.

18.易证Rt△ABC≌Rt△BED，    ∴∠ABC+∠DBE=90°.∠ABE=90°.

三个直角三角形的面积分别为（1/2）ab，（1/2）ab和（1/2）c²，直角梯形ACDE的面积为

1/2（a+b）（a+b）.

由图形可知1/2（a+b）（a+b）=（1/2）ab+（1/2）ab+（1/2）c²，整理得a²+b²=C².

19.（l） 11，60，61

20.（1）答案不唯一，如x=3，y=4，z=5;x=5，y=12，z=13等.

（2）想起了勾股数或不定方程等。答案不唯一.

21.如图2，  在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13.

设BD=x.则CD=14-x.

∴15²-X²=13²-（14-X）².

解得x=9.

∴AD=12.S_△ABC=（1/2）BC·AD=84.

22.（1）锐角  钝角

（2）>  <

（3）因a=2，b=4，c为最长边，故4≤c<6.对于△ABC分类讨论如下：①当a²+b²2时，△ABC为钝角三角形，此时C²>2²+4²=20，则c>2√5.2√52+b²=C²时，△ABC为直角三角形，此时c²=2²+4²=20，则c=2√5.③当a²+b²>C²时，△ABC为锐角三角形，此时C²<2²+4²=20，则0

综上，当△ABC为钝角三角形时，2√5

2019年“勾股定理”中考题演练

1.B  2.B  3.A（△ACF，△BCF均为等腰三角形）  4.A（过B作BD上AC于D，  则BD=2cm，△BCD是等腰直角三角形，BC=2√2cm.作AE上BC于E，则AE=2Cm）5.A（连接FC，△FOA≌△BOC.因AO=CO，AE=CE，故BE垂直平分AC，BC=AF=CF）  6.c  7.B  （设AD=a，AB=b，则BG=b+（b/2）=（3b）/2.在Rt△BCG中，a²+（b/2）²=[（3/2）b]²）  8.B 设正方形ADOF的边长为x，由AC²+AB²=BC²，得（6+x）²+（4+x）²=10²，各选项代人验证）  9.D（△ABD是等腰直角三角形，易证△BDG≌△ADE（角边角），故BG=AE=l，DG=DE.△EDG为等腰直角三角形，∠AED=135°，△AED沿直线AE翻折得△AEF，AED≌△AEF，△DEF为等腰直角三角形，EF=DE=DG.在Rt△AEB中，BE=√（AB）²-（AE）²=2√2，故GE=BE-BG=2√2-1.DE=GF/√2）

10.如果a，b互为相反数，那么a+b=011.5  12.√13  13.1  14.10/3（設CE=x，则BE=6-x.由折叠性质可知EF=CE=x，DF=CD=AB=lO.故AF=8.BF=2.在Rt△BEF中，（6-x）²+2²=x²）  15. 75或25（过点A作AD⊥BC于点D，则点D在BC或BC的延长线上）  16.2√3  17.√3

2.易知△ABD和△DEF均为等边三角形，于是可算出 CF，FO，CO，CD）  20.4√5（先计算七巧板各组件的边长，如图3）

21.（1）由A，B两点的纵坐标相同可知AB//x轴，AB=12-（-8）=20（km）.

（2）如图4，过点C作CE⊥AB于点E.连接AC.作AC的垂直平分线交CE于点D.由（l）可知CE=1-（-17）=18（km），AE=12km.设CD=xkm，则AD=xkm，在Rt△ADE中由勾股定理知x²=（18-x）²+12²，x=13，即为所求.

22. 6-2√5（设BF=x.在Rt△GEF和Rt△CEF中，利用公共边EF有（2√5-4）²+x²=（4-x）²+2²）

23. 24+16√3（如图5，将△BCP绕点B逆时针旋转60°后得到△BAP'.连接PP'.易知△BPP'为等边三角形，故BP'=BP=8=pp'.由勾股定理的逆定理知△APP'是直角三角形，S_△ABP+S_△BCP=S_{四边形APBP}=S_△BPP+S_△APP'=（√3/4）BPS_△ABP+（1/2）PP'·AP）

24.B²=（n²-1）²+（2n）sup>2=n⁴-2n²+1+4n²=（n²+1）².因B>0，则B=n²+1.当2n=8时，n=4，n²+l=17;当n²-1=35时，n²+l=37.

25.（1）证△BAE≌△ADF（边角边）.

（2）由（1）知△DAE≌△ADF，∠EBA=∠FAD，推出∠AGB=90°，在Rt△ABE中，（1/2）AB·AE=（1/2）BE·AG.可得AG=（4*3）/5=12/5.

26.（1）略（△AEC≌△CDB（角角边））.

（2）由（1）知BD=CE=a，CD=AE=b.

S_梯形AEDB=（1/2）（a+b）（a+b）=（1/2）a²+ab+（1/2）b².

又S_梯形AEDB=S_△AEC+S_△BCD+S_△ABC=（1/2）ab+（1/2）ab+（1/2）c²=ab+（1/2）c²，故（1/2）a²+ab+（1/2）b²=ab+（1/2）c²，a²+b（1/2）c²=c（1/2）c².

27.（1）作图略.

（2）由作图知AD=BD.设BD=x，则CD=8-x，由勾股定理可以得4²+（8-x）²=x²，解得x=5.BD=5.

28.答案不唯一.

（1）如图6;

（2）如图7.

29.（1）√2-（√6/3）（∠MBD=30°）.

（2）易证明△BDE≌△ADF（角边角），故有BE=AF.

（3）过点M作ME//BC交AB的延长线于E，仿（2）可证△BME≌△NMA（角邊角），故BE=AN，AB+AN=AE=√2AM.

30.（1）①40或20.

②显然∠MAD不能为直角（因其所对的边不是最长边）.当∠AMD为直角时，AM²=AD²-DM²=800，AM=20√2;当∠ADM=90°时，AM²=AD²+DM²=30²+10²=1000 ，AM=10√10.综上所述，AM的长为20√2或10√10.

（2）连接CD₁. ∠D₁AD₂=90°，AD₁=AD₂=30，故D₁D₂=30√2.因∠AD₂C=135°，故∠CD₂D₁=90°，CD₁=√CD²₂+D₁D²₂=30√6.易证△BAD₁≌△CAD₁（边角边），则BD₂=CD₁=30√6.

31.（1）点A在线段BD的垂直平分线上，点C在线段BD的垂直平分线上，故直线AC是线段BD的垂直平分线，AC⊥BD，四边形ABCD是垂美四边形.

（2）由勾股定理得AD²+BC²=A0²+D0²+B0²+C0²，AB²+CD²=A0²+B0²+C0²+D0²，故AB²+CD²=AD²+BC².

（3）连接CG，BE.由“手拉手”模型易证△GAB≌△CAE，CE⊥BG.故四边形CGEB是垂美四边形，由（2）得CG²+BE²=CB²+GE².因 AC=4，AB=5，故BC=3， CG=4√2，BE=5√2.于是GE²=CG²+BE²-CB²=73，GE=√73.

“勾股定理”单元测试题

1.C   2.D   3.C   4.C   5.C  6.B  7.D8.B  9.B   10. C（如图8，在△ABC中，∠C=90°AC=m..BC=n.过点A的射线AD交BC于点D.且将△ABC分成两个等腰三角形（△ACD和△ADB），则CA=CD=m，AD=BD=n-m. 在Rt△ACD中，由勾股定理得m²+m²=（n-m）²，从而m²+2mn-n²=0）

11. 1.5  12. 600√3  13.2  14.415. 1/2²⁰¹⁸

16.AC=2√3.

17. 96m².

18.（1）在△ABD中，由勾股定理的逆定理易证AD⊥BC;

（2）CD=9.

19.7√2（设AB=7x，则（2√7）²-X²=（7x）²-（6x）²）.

20.（1）连接CE.因D是BC的中点，且DE⊥BC. 故CE=BE.因BE²-EA²=AC²，故CE²-EA²=AC²，即EA²+AC²=CE²，则△ACE是直角三角形，∠A=90°.

（2）因DE=3 ，BD=4，故BE=5=CE.所以AC²=25-AE².易知BC=2BD=8.在Rt△ABC中，由勾股定理可得8²-（5+AE）²=25-AE²，解得AE=7/5.

21.（1）如图9①所示;

（2）如图9②、图9③所示.

22.作A点关于CD的对称点A'，连接A'B'，A'B与CD的交点即为点M.最低的总费用为150万元.

23.（1）如图10.

（2）如图11，连接CE.易证△ABC≌△DBE（边角边），故AC=DE.

易证△BCE是等边三角形，

∴CE=BC，∠BCE=60°.

又∠DCB=30°，故∠DCE=90°.

∴CD²+CE²=DE².故CD²+BC²=AC²，四边形ABCD是勾股四边形.