“勾股定理”常考题型归纳

车香 陈飞

勾股定理是研究几何图形的基础知识，也是数形结合的典型代表.在历年中考中，勾股定理都是主角之一，为了方便同学们的学习与运用，现将有关的常考题型归纳如下.龟一、求线段的长度上27 側/ 如图1. 已知△ABC中，AB=17，AC=10，BC边上的高AD=8.则边BC的长为（ ）.

A.21

B.15

C.6

D.以上答案都不对

解：因为AD是高，所以LADB=∠ADC=90°，△ADB与△ADC都是直角三角形.

由勾股定理，得BD=√AB²-AD²=15，CD=√AC²-AD²=6.

所以BC=BD+CD=21.应选A.

二、求图形的周长

侧2 有一块直角三角形的绿地，量得其两直角边的长分别为6m，8m.现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m为一直角边长的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长.

分析：由于两直角边长分别为6m，8m，于是可利用勾股定理求出其斜边的长.而题目只要求扩充成等腰三角形，并没有指明等腰三角形的底边和腰，所以应分情况求解.

解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8m，BC=6m.由勾股定理得AB=10m.设扩充部分为Rt△ACD，扩充成等腰△ABD.分三种情况求：①如图2，当AB=AD=10m时，可得DC=BC=6m，于是△ABD的周长为32m.②如图3，当BA=BD=1Om时，可得CD=4m，由勾股定理得AD=4√5m，于是△ABD的周长为（20+4√5）m.③如图4，当AB为底时，设DA=DB=x m，则CD=（x-6）m.在Rt△ACD中由勾股定理得：x=25/3，于是△ABD的周长

3为80/3m.

综上可以知道，△ABD的周长为32m或（20+4√5）m或80/3m，即为所求.

三、拼图验证勾股定理

例3 圖5是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形（两直角边长分别是a，b，斜边长为c）和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形.

（1）画出拼成的图形的示意图;

（2）证明勾股定理.

分析：将四个全等的直角三角形拼成一个正方形，利用面积的不变性来验证.

解：（l）如图6所示（方法不唯一）.

（2）因为大正方形的面积既可表示为（a+b）²，也可表示为c²+4×（1/2）ab，所以（a+b）²=c²+4×（1/2）ab，即a²+2ab+b²=C²+2ab.所以a²+b²=c²，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

四、勾股树

例4 图7是一株美丽的勾股树，其中所有的“基本”四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积是（ ）.

A. 13

B.26

C.47

D.94

分析：正方形E的面积等于边长的平方，而其边长的平方等于与之紧邻的两个正方形边长的平方和，同样地，这两个与最大正方形紧邻的正方形边长的平方又分别等于正方形A，B边长的平方和与正方形C，D边长的平方和，

解：因为正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，所以最大正方形E的面积为3²+5²+2²+3²=47.应选C.

五、确定最短路线

侧5 如图8，长方体底面边长分别为1cm和3cm.高为6cm.如果用一根细线从点A开始经过四个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要_____cm;如果从点A开始经过四个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要_______cm.

分析：要求最短细线的长，得先确定最短路线，可画出长方体的侧面展开图，利用两点之间线段最短，结合勾股定理求得，若从点A开始经过四个侧面缠绕n圈到达点B，则相当于长方体的侧面展开图的一边长由（3+1+3+1）cm变成了n（3+1+3+1）cm，同样可以用勾股定理求解.

解：如图9，依题意，最短距离为AB.由勾股定理得AB=√6²+8²=10 （cm），即所用细线最短为10cm.

若从点A开始经过四个侧面缠绕n圈到达点B，则长方体的侧面展开图的一边长由（3+1+3+1）cm变成了n（3+1+3+1）cm，即为8n cm.由勾股定理，得

AB=√6²+（8n）²=√36+64n²（cm），即所用细线最短为2√9+16n²cm.

六、阅读理解

例6 阅读下列材料：

在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫作格点三角形.

数学老师在课堂上出了一道题目：在如图10所示的正方形网格（每个小正方形的边长为1）中画出格点△ABC，使得AB=AC=√5，Bc=√2.

小明同学的做法是：由勾股定理，得

AB=AC=√2²+1²=√5，

BC=√1²+1²=√2，于是画出线段AB，AC，BC，从而画出格点△ABC.

请你参考小明同学的做法，在同样的正方形网格（每个小正方形的边长为1）中画出格点△A'B'C'，使A'B'=A'C'=5，B'C'=√10.

解：因为A'B'=A'C'=√3²+4²=5，B'C'=√1²+3²=√10，所以画图如图11所示，