勾股定理的应用技巧

朱亚邦

勾股定理应用范围广，涉及的题型多.解题时要准确理解题意，明确思考方向，灵活应用多种方法。

一找直角三角形

例1 如图1所示，△ABC和△DCE都是边长为2的等边三角形，且点B，C，E在同一条直线上，连接AE，求AE的长.

解：△ABC和△DCE都是边长为2的等边三角形，故△ACE为等腰三角形，∠ACE=120°.

∴∠CAE=30°，∠BAE=60°+30°=90°.

在Rt△ABE中，由勾股定理得：

AE²=BE²-AB²=（2+2）²-2²=12，AE=2√3.

二分类讨论

例2 已知△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12.求BC边的长，

分析：由于题中没有给出图形，也没有说明△ABC是锐角三角形还是钝角三角形，因此必须进行分类讨论。

解：（1）如图2，当BC边上的高AD在△ABC内部时，在Rt△ADB和Rt△ADC中，由勾股定理得BD=9，DC=5.

∴BC=BD+DC=14.

（2）如图3，当BC边上的高AD在△ABC外部时，同样可求得BD=9，DC=5.

∴BC=BD-DC=4.

综上.BC的长为14或4.

三整体代入

例3 如图4所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，中线AD.BE的长分别为7和4.求斜边AB的长.

分析：此题涉及的未知量较多，但不必一一求出，将有关未知量整体代入求解，解题过程就会很简捷.

四设而不求

例4 在△ABC中，∠C=90°，两直角边的长为a，b，斜边长为c，且a+b=8 .c=6.求S_△ABC.

解：由a+b=8，c=6，得

S_△ABC=（1/2）ab=[（a+b）²-（a²+b²）]/4=[8²8-6²]/4=7.

五理清概念

例5 數学老师出了这样一道判断题：“由长度分别为1.2，2，1.6的线段组成的三角形是不是直角三角形？”明明同学算了一下说它肯定不是直角三角形，理由是：因为1.2²+2²=5.44，1.6²=2.56，而1.2²+2²≠1.6².明明的判断对吗？

解：∵1.2²+1.6²=2²，

∴此三角形一定是直角三角形.

点评：只有当两条短边的平方和等于长边的平方时，这个三角形才是直角三角形.

六构造方程

例b 如图5，Rt△ABC中，两条直角边AC，BC的长分别为6和8.现将直角边AC沿着AD折叠，使它落在斜边AB上，且点C落在点E处，求AD的长，

解：在Rt△ABC中，AB=lO.

由折叠中的不变元素知AE=AC=6，故BE=4.

设DE=DC=x，则DB=8-x.

在Rt△BDE中，（8-x）²-X²=4²，解得x=3.

在Rt△ACD中，AD=√AC²+DC²=3√5.