非齐次非对称Keyfitz-Kranzer 气体方程组的Riemann 问题

李舒琪

（新疆大学数学与系统科学学院，新疆乌鲁木齐830046）

非齐次Chaplygin 气体非对称Keyfitz -Kranzer方程组为［1］

其中ρ、u、p 分别表示气体密度、速度和压强.状态方程是方程组（1）的 Riemann 初值为

其中 ρ±和 u±是给定的常数.

非线性双曲型守恒律方程组在现代数学中是一个非常重要的研究方向，并且在空气动力学、等离子动力学、气象学、经典相对论流体力学等学科都有着极其广泛的应用［2］.尤其是起源于非线性双曲型守恒律方程组的激波解、疏散波解和接触间断解的研究都有着理论意义和实际参考价值，同时也可以用来研究 Aw - Rascle 交通流［3］.非对称 Keyfitz -Kranzer方程组属于非线性双曲型守恒律方程组的类型，因此受到许多学者的关注［4-7］.

当 β ＝0 时，方程组（1）为齐次非对称 Keyfitz-Kranzer方程组，具有线性退化的特性，这个问题引起了许多学者的研究兴趣.2013 年，Lu［4］研究了非对称Keyfitz - Kranzer 方程组全局熵解的存在性，Cheng［5］研究了非对称 Keyfitz -Kranzer 方程组线性衰减守恒律的Riemann 问题和基本波的相互作用. 2014 年，Guo 等［6］研究了多方气体和广义Chaplygin气体非对称Keyfitz-Kranzer方程组压力消失极限问题. 2018 年，李舒琪［7］研究了非对称Keyfitz-Kranzer方程组波的相互作用.

非齐次Chaplygin气体非对称Keyfitz -Kranzer方程组（1）可以简单描述Chaplygin 气体和黑物质的相互作用［2］的Riemann问题，因此其Riemann问题的研究一直是一个热门课题.但是由于其自身非齐次性的解析难度，使得目前对于非齐次Chaplygin气体非对称Keyfitz - Kranzer 方程组的研究很少.2012 年，Gu 等［8］研究了非齐次非对称 Keyfitz -Kranzer方程组的全局弱解的有界性. 2017 年，Li等［9］利用分离的 δ 函数法研究了非齐次非对称Keyfitz-Kranzer方程组中δ 激波的交互性，同年研究了非齐次非对称Keyfitz -Kranzer 方程组在不同δ 初值下的 Riemann 问题［10］.

本文在前人的基础上继续研究非齐次非对称Keyfitz-Kranzer方程组的Riemann 问题.首先引入一个新的变量把非齐次非对称Keyfitz -Kranzer 方程组转化为守恒形式，并得到Riemann 解的整体结构，与齐次非对称Keyfitz - Kranzer 方程组的Riemann解不同的是非齐次非对称Keyfitz-Kranzer方程组的Riemann解是非自相似的.由特征分析法和相平面分析法，可以得到δ激波会在某些特定情况下出现在Riemann 解中，再通过广义的Rankine -Hugoniot条件得到了 δ 激波的位置、传播速度和强度.

1 修正守恒方程的Riemann问题

这部分主要研究 Keyfitz -Kranzer 方程组（1）守恒形式的Riemann问题，引入新的变量v（x，t）＝u（x，t）- βt，则方程组（1）可以写成如下守恒形式：

其Riemann初值为

方程组（3）可写为

由上式，方程组（3）有2 个特征根

对应的右特征向量分别为

通过计算可知▽λi·ri＝0（i ＝1，2），这里▽表示（ρ，v）的梯度，因此特征域 λ1和 λ2是线性退化的，会产生接触间断，用J表示.

x ＝ x（t）处的有界间断用 σ（t）＝ x′（t）表示，则方程组（3）的Rankine-Hugoniot条件：

［ρ］表示ρ的跳跃，很明显间断的传播速度依赖于参数t，这与齐次方程组有所不同.

若 σ（t）≠0，由（8）式得到

因此2 个非空状态（ρ-，v-）和（ρ+，v+）可通过 1-接触间断J1连接当且仅当

也可通过2 -接触间断J2连接当且仅当

在（ρ，v）平面，若给定左状态（ρ-，u-），从（11）式可知1 -接触间断 J1（ρ-，u-）满足 v ＝u-，从（12）式可知 2 - 接触间断 J2（ρ-，u-）满足和 ρ ＝0 为渐近线.此外，过点可以画曲线 S 满足（12）式，即事实上，在（ρ，v）平面，曲线 S 是由曲线J2（ρ-，u-）向左平移个单位得到，简而言之，（ρ，v）平面被分成 2 个区域Ⅰ（u-，ρ-），Ⅱ（u-，ρ-）（见图1）.

图 1 守恒律方程组（3）的（v，ρ）相平面Fig. 1 Phase plane （v，ρ）of conservation system （3）

若（ρ+，u+）∈Ⅰ，即满足则方程组（3）的 Riemann 解由 J1、J2及两者之间的非真空常状态（ρ*，v*）组成，中间状态（ρ*，v*）满足

J1、J2的传播速度分别为

当（ρ+，v+）∈Ⅱ，即则 Riemann 问题（3）和（4）的特征曲线在区域 Ω 重叠，使得在区域Ω内出现了奇异点.简单起见，只计算从原点（0，0）出发的特征曲线，它可以由下式决定：

这种情形的解可以通过图2 来说明.

线性退化特征值的叠加造成Riemann问题（3）和（4）解的奇异性.因此，在某些特定情况下，Cauchy问题不存在弱的L∞解时，非经典解就会出现.为了求解非经典解的 Riemann 问题（3）和（4），引入了δ激波测度定义.

定义 1.1定义一个在光滑曲线 S ＝ ｛（x（s），t（s））：a ＜ s ＜ b｝上的二维的加权 δ 激波测度 p（s）δS为

为了方便，选取参数s ＝t且用

来表示δ激波的权.

设 Γ｛γi｜i∈I｝是一个上半平面｛（x，t）｜x∈R，t∈（0，+∞）｝包含光滑曲线 γi的集合，其中，i∈I，I是指标集.I0＝ ｛γj｜j∈I｝，γj是初始点在 x 轴上的曲线表示 γj的初始点集.那么定义方程组（3）在 δ 激波测度初值的 Cauchy 问题的解.

定义1.2令（ρ，v）是一个分布函数对，ρ可表示为

δ激波的初值为

成立，则分布函数对（ρ，v）为方程组（3）在初值（21）式的 δ激波解，其中是函数 ψ 在图 γi上的方向导数表示沿着弧γi进行线积分.

当（ρ+，v+）∈Ⅱ，即考虑 Riemann问题（3）和（4）的一个分片光滑解，其形式为

其中，x ＝ x（t）表示 δ 激波曲线，w（t）和 σ（t）＝x′（t）表示 δ激波的强度和传播速度，vδ是 v 在 δ 激波曲线上的分布在这条δ激波曲线上是0.

Riemann 问题（3）和（4）的 δ 激波解（24）需要满足如下广义的Rankine-Hugoniot条件

假定 δ激波曲线 Γ：｛（x，t）｜x ＝ x（t）｝是（x，t）平面上一条过间断点（ρ，v）的光滑曲线.令 P 是 Γ 上的任意一点，Ω 是以点P 为中心的一个小球.假设Ω和 Γ 的交点是 P1＝ （x（t1），t1）和 P2＝ （x（t2），t2），t1＜ t2，并且 Ω-和 Ω+分别表示 Ω 被 Γ 截断的左半部分和右半部分.对于任意的检验函数来说有

利用散度定理得

其中 ∂Ω±是 Ω±的边界.因此对于任意 ψ（x，t）∈当 I ＝0 时，（25）式的第 2 个等式成立.同1理可得

为了确保解的唯一性，还应成立如下δ 激波的广义熵条件

广义的 Rankine-Hugoniot条件（25）反映了 δ 激波的位置、强度和传播速度的关系. δ 激波的熵条件（26）反映了间断两边的特征线是进入的.

由（25）式得

当 ρ-＝ ρ+，可得

2 方程组（1）的Riemann问题

本节研究方程组（1）和（2）的 Riemann 问题.当（ρ+，u+）∈Ⅰ，即那么（1）和（2）式的Riemann解如下（见图3）.

其中（ρ*，v*）由（14）式给出，接触间断 J1和 J2由下式决定

同理，当（ρ+，u+）∈Ⅱ时，即定义Riemann问题（1）和（2）分布意义下的弱解.

定义2.1方程组（1）的δ激波型初值为

都成立，则分布函数对（ρ，u）为方程组（1）在初值（38）的 δ激波解.

为了确保（1）和（2）式的 Riemann 问题解的唯一性，当时，得到δ激波的广义熵条件

与前面的推导相同，由（42）和（45）式得到x（t）、σ（t）和 w（t）.一般来说，当 Riemann 初值（2）满足且 ρ ≠ρ 时，（1）和（2）式的-+Riemann解可以用如下定理来说明.

定理2.1当 Riemann 初值满足u-且 ρ-≠ρ+，那么 Riemann 问题（1）和（2）的 δ激波解为

这里 η 和 vδ分别由（31）和（32）式给出.

证明当时，Riemann 问题（1）和（2）的解是 δ激波.由（43）式得（42）式的第 2 个方程可以写为

由于 uδ（t）-βt是常数，（42）式的第三个等式可以重写为

化简（49）式得

将（48）式代入（49）式得

然而，以上得到的δ激波解（46）和（47）在分布意义下需要满足方程（1），也就是说，需要验证对于任意检验函数（46）和（47）式应该满足

（52）式是方程组（1）的一个弱解.

由（47）式得到δ激波的曲线形式

设 vδ＞0 且 β ＞0，对于任意的时间 t，x ＝ x（t）＞ 0，由（47）式得到

关于（52）式的第1 个方程的证明参见文献［2］.现在，对（52）式的第2 个方程进行分析得到

对于上式有

将（57）和（58）式代入 I2得到

利用变量替换并变换积分顺序，I2可以改写成

下一步就是计算 B（t），重写（61）式得到

将（32）式代入（62）式得

通过将（31）式的 η2代入（63）式得到

合并（60）和（64）式，可知（52）式的第 2 个方程在分布意义下成立.证明完毕.

注2.1特别的，如果Riemann初值满足u++且 ρ ＝ ρ ，那么 Riemann 问题（1）和（2）-+的δ激波可以表示成（46）式，并且

证明过程与前面类似，在这里不再赘述.