安徽 李昭平
数列与不等式的交汇,是高考中一种常见的题型,放缩、裂项、累加常常是处理此类问题的有效途径. 本文是笔者对2020年一道最新数列不等式模考题进行的思考与探究,旨在揭示解题思想,锤炼数学思维.
1. 题目
(Ⅰ) 确定数列{an}的单调性,并求出{an}中项的最小值;
2. 分析
3. 解答
因此{an}中项的最小值是a1.
4. 结论
由上述解答,得到以下结论:对于形如an+1=an+f(an,n)的递推式,可以通过变形为an+1-an=f(an,n)来研究数列{an}的单调性和项的最值.在无法求通项公式an时,往往可以通过适当的放缩、裂项、累加等变形和运算,确定其通项满足的不等式,实现解题的目的.an+1=an+f(n)是an+1=an+f(an,n)的特殊情形,此时往往能求出通项公式an.
5.联想
适当改变模考题的结构式,作引申联想,得到以下内容.
对模考题作逆向思考,适当互换题设条件与结论得到如下内容.
将模考题结构式中的“加号”向“乘号”类比,得到如下内容.
两边取常用对数得lgan+1≤3lgan-2lg2,即lgan+1-lg2≤3(lgan-lg2).
当n=1时,an=2·103n.故an≤2·103n(n∈N*).