一道浙江立体几何高考试题的探究与教学启示

浙江 李安毓

2019年是浙江新高考改革后文理合卷的第三年，整套试卷在对文理合卷后的数学高考要求与特点维持稳定的基础上，体现了稳中有进的命题思路.今年高考结束后，笔者接到通知，有幸参加了浙江高考网上评卷工作.通过本次高考阅卷，使笔者对考生的答题情况、得分情况，以及学生学习与教师教学中存在的问题有了全面的了解和掌握.现与广大同仁分享本次阅卷的经历和感悟，以期能有力地指导高三复习教学，从而提升高考复习时效.下面就以2019年浙江高考第19题为例，谈谈该题的试题剖析、解法探究以及今后浙江数学高考立体几何题型的备考策略.

1.试题赏析

【原题】如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC=90°，∠BAC=30°,A1A=A1C=AC，E,F分别是AC,A1B1的中点.

(Ⅰ)证明：EF⊥BC；

(Ⅱ)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.

2.试题剖析

该试题以三棱柱为载体，考查空间点、线、面位置关系中的线面垂直的判定、直线与平面所成角等立体几何模块中的核心知识点.同时检测考生直观想象、逻辑推理与数学运算等数学核心素养.它作为高考数学中的第二道解答题，相对而言属于大部分学生都容易拿分的中档题.试题紧扣教材，语言简练注重“双基”，起点低入口宽，具有明显的“浙江风格”.与2018年高考浙江卷立体几何大题相比，熟悉的背景、相似的问题、常规的方法，命题风格可谓一脉相承.相信很多考生对两小题的设问方式倍感“亲切”，无非是把去年19题中的组合体改为斜三棱柱，把第(Ⅰ)问中的证明“线面垂直”改为了“线线垂直”，第(Ⅱ)问仍是 “线面角问题”，只是改为 “求线面角余弦值”.总之，浙江立体几何大题继承了近几年来的浙江传统和特色，整体趋于平稳，属于意料之中的题型.特别是第19题第(Ⅱ)问,文理合卷后连续三年考查了“线面角”问题，同时此问题的求解也凸显了多种通性通法，如几何法、空间向量法(坐标法)和等体积法.就难度而言，2018年立体几何题的去零平均分为11分左右，难度系数为0.73，2019年此题的去零平均分为10.6分，难度系数为0.7，相比之下两年试题难度基本持平.

3.解法探究及考生答题情况分析

本着公平公正的原则，负责本题的评卷小组长们经过认真研讨、严密论证，再三商榷后确定了几种不同的解题方案与相应的评分标准.并把两小问的分值分配为第(Ⅰ)问6分、第(Ⅱ)问9分，满分15分.

3.1 第(Ⅰ)问证法探究

每年的浙江数学高考试题都普遍具有丰富的背景和内涵，其立意深远、入口通道众多，从不同的视角切入，同样的精彩纷呈，而每一种解题思路的背后无不闪耀着数学思想的光辉.以下笔者分别给出2019高考浙江卷第19题两小问的几种不同视角的解法.

证法1(线面垂直法)：连接A1E，因为AA1=A1C,E为AC中点，所以A1E⊥AC.又平面A1ACC1⊥平面ABC且交线为AC，故A1E⊥平面ABC,所以A1E⊥BC.又由题知AB⊥BC且AB∥A1F,故BC⊥A1F，因此BC⊥平面A1EF,从而EF⊥BC.

评注：此证法主要运用线面垂直的判定定理来证线线垂直，属于较为常规的通性通法.考生虽容易下手，但从阅卷的情况来看，在证明A1E⊥平面ABC的过程中，相当一部分考生只得到了一个线线垂直就推导出线面垂直，属于判定定理知识掌握不到位而导致的错误，故而只能得2分.此外，在证第一个垂直关系A1E⊥BC时，需利用面面垂直性质定理来证，但很多考生因为面面垂直性质不会用而缺少一个线线垂直条件造成失分，充分说明很多考生立体几何基础知识还不够扎实，或是空间感知能力较差不能灵活把握空间图形整体结构以至于证不出第二个垂直关系.

评注：此证法关键是利用“直接法”把BC，EF平移到同一个三角形中,再运用勾股定理来证线线垂直.从阅卷统计来看，大约有10%的考生采用此方法.虽然不少考生能想到此思路，但大都在计算边长时出错或存在困难，还有部分考生只计算出两条边长，马上反过来运用勾股定理求得第三边，于是就说三边满足勾股定理，因此EF⊥BC.此思路明显犯了逻辑错误，即在未完全计算出三边边长时就默认该三角形是直角三角形了，属于逻辑推理顺序颠倒，导致失分.

5)成果数据导出。将服务器中更新好的1∶250 000 DLG数据库导出为FILE GEODATABASE格式，并按目录组织结构整理成果数据[1]。

评注：该证法的关键是建立空间直角坐标系，利用两空间向量的数量积为零来证得线线垂直.从评卷情况来看，两小问凡是运用空间向量坐标法都最容易得分，但该解法对考生的数学运算能力有着较高的要求.评卷中遇到的重点问题是：在建立空间坐标系时，相当一部分考生由于审题不清，误把斜三棱柱当成直三棱柱，并把侧棱或其平行线当成z轴导致建系错误；还有的考生则是建系虽正确，但却把某一个点或向量的坐标算错，从而造成失分.

3.2 第(Ⅱ)问解法探究

评注：数学概念是数学学科之本，也是一切数学原理规律、定理性质之源.几何法思路的关键就是运用“线面角”的概念作垂线得射影从而得到线面角，进而运用余弦定理求得线面角的余弦值.由于此解法需要考生具备扎实的几何功底，如灵活添加多条辅助线，通常大部分学生都比较畏惧，所以采用几何法的考生只有极少部分.但凡是用了此法的几何功底过硬的考生，基本都能算对.另外，从浙江高考命题规律来看，第一问的结论往往是为第二问服务的，本题也不例外.事实上，第(Ⅰ)问证明的EF⊥BC是为第(Ⅱ)问求线面角做铺垫、埋伏笔的，因此试题也体现了命题人在命制解答题时对两小问层层递进的设计思路.然而很多考生却忽略了第一小问的作用和价值，未能很好地利用第一问去解决第二问.究其原因是考生对面面垂直的性质以及线面角概念的理解和运用不够熟练和灵活，故而暴露出这两个立体几何的核心知识点是许多考生高考复习盲区的问题.

4.教学启示及备考策略

4.1注重答题策略的培养

在平时的高三复习教学中，尤其应重视对学生解答题的答题策略进行针对性地指导和点拨，比如让学生明白正规考试(包括模考、高考)中，解答题的首要评卷原则是分步骤采点评分，即写对一个得分点步骤，就能得到相应的分数.纵观近几年的浙江高考，命题者与评卷小组越来越关注考生数学思维过程的展现，只要考生正确理解相关概念、公式定理，推理严密、计算准确，无论用哪一种方法都是等值的，都能得到相应的分数.同时，在高考立体几何复习中应对学生特别强调，在答题过程中重视证明语言表达的逻辑性与规范性，语言连贯、思路清晰很重要.因为字迹清楚、卷面整洁、解题思路清晰、推理过程简洁，阅卷教师更容易区分和辨别得分点，考生也就越容易获得尽可能多的分数.

4.2重视逻辑推理能力的培养

立体几何试题本身对逻辑推理能力有着较高要求，特别是第(Ⅰ)小问的证明题需要考生具备良好的逻辑推理能力，同时还需注意语言表述的条理性与严谨性.然而在本次高考阅卷中，发现很多考生在第(Ⅰ)问证明“线线垂直”时，因为推理不到位、论证不严密而导致丢分.因此在平时高三教学中，应重视对学生逻辑推理能力的培养.同时阅卷中也注意到越是推理能力好的考生，其证明过程的书写与表达越简洁明了，从而也就越容易得满分.

4.3关注数学运算能力的培养