核心素养视域下的高三数学微专题教学的实践与思考——以“求圆锥曲线的离心率范围问题”教学为例

江苏 张改霞 张启兆

高三数学复习课质量的高低直接影响学生对数学知识与方法的深入理解、思维能力的提升及良好数学素养的形成.近年来，微专题复习课正成为大家广泛认同的一种有效的课型.所谓“微专题”，是指立足于具体的学情、教情和考情，选择一些切入点小、角度新、针对性强的“微型”复习专题，力求解决复习中的真问题和实问题.求圆锥曲线的离心率范围问题是近年高考的一个热点，但是由于这类题型条件隐晦，涉及面广泛，不少同学面对这类问题时往往不知从何入手.本文结合“求圆锥曲线的离心率范围问题”谈谈对“微专题”复习的一些思考.

1.认知的基础性——通过知识网络的梳理，构建起解决某一类问题较为清晰的“路线图”

微专题复习课要帮助学生梳理本专题所涉及的知识与方法，从而让学生充分感悟不同问题之间的联系，进而形成对一类问题更为系统、全面的认识，为学生在头脑中构建起解决某一类问题较为清晰的“路线图”做好准备.以本专题为例，笔者设计了以下教学环节帮助学生梳理认知结构中已有的、但相对“零散”的求圆锥曲线离心率的范围问题的知识和方法.

环节1 问题回顾

【设计意图】由课本的习题出发，回顾求解圆锥曲线离心率的范围问题的关键是寻找a，b，c之间的不等关系，基本方法是从几何特征的角度出发寻找不等关系，或结合题目条件寻找不等关系，同时让学生体会数形结合思想在解决这类问题中的作用.

环节2 学生感悟

问题(1)：圆锥曲线离心率怎样计算？

问题(2)：通过对圆锥曲线离心率计算公式的研究，发现求解圆锥曲线离心率的范围问题的关键是什么？(寻找a，b，c之间的不等关系)

问题(5)：从哪些方面寻找a，b，c之间的不等关系？(从题意出发、从圆锥曲线的定义出发、从几何特征的角度出发、从椭圆和双曲线自身性质出发，如利用焦半径的范围)

【设计意图】引导学生用数形结合思想重新审视求解圆锥曲线离心率的范围问题的过程，为学生自主生成求解圆锥曲线离心率范围的方法做准备.

2.选题的针对性——以高考热点、难点、疑点为主要对象

求圆锥曲线离心率的范围这类试题综合性较强，灵活多变，能有效地考查考生的数学核心素养.在实际复习中，学生对于求解函数的取值范围的本身就感到困难，再放到图形中，结合“形”来考虑，更是提高了对能力要求的考查.基于高考的考点要求与学生思维能力的现状，选择以“求圆锥曲线的离心率范围问题”为研究对象.

在此类问题中，与焦点三角形有关的问题是各类考试的热点，经久不衰，题型灵活多样.

【设计意图】从数学内部的问题情境引入，利用学生熟悉的焦半径的性质建立不等关系，彰显了解决这类问题的核心数学思想方法——数形结合，训练逻辑推理、直观想象等核心素养，为后续学习提供解题方法.

【解题思路】遇到焦点三角形问题，以“形”入手，从几何特征的角度出发，利用焦半径的性质建立不等关系.

方法1：利用焦半径的性质建立不等关系

由双曲线的性质知，|PF2|≥c-a(当且仅当P为双曲线右顶点时取等号)，

方法2：利用三角形中任意两边之和大于第三边建立不等关系

【基本想法】(1)由双曲线上某一点引出的两条焦半径满足的数量关系问题，这类问题的离心率的最值往往是当该点位于双曲线的某顶点时取到；

(2)遇到双曲线的焦点三角形，且已知两条焦半径的数量关系时，运用双曲线的焦半径范围的限制求解，即利用双曲线焦半径PF≥c-a(点P与F在虚轴的同一侧时)或PF≥a+c(点P与F分别在虚轴的两侧时)建立不等关系.

【评注】(1)方法1中消去PF1，当然也可以选择消去PF2，并利用PF1≥a+c建立不等关系.那么，此种利用焦半径的性质解题的思路是否适用于椭圆呢？

(2)方法2通过利用三角形中任意两边之和大于第三边建立不等关系，这个解题思路是否适用于椭圆呢？

通过问题情境引出研究对象，这个问题切入口小，仅限于与焦点三角形有关的最值，但却是高考的热点问题，解决好这类问题的关键是利用好焦半径的几何性质.

3.方法的明确性——以提炼数学思想方法为主要目标

微专题复习课的重点应放在让学生生成解决本专题问题的基本“路线图”及渗透专题所反映一般数学思想方法上，而不只是关注单个题目的具体解法.要防止复习的“碎片化”，避免“就题论题”.将专题教学异化为同类题的综合训练，起不到专题复习的效果.

【设计意图】将学生置于新的问题情境中解决问题，以实现知识的迁移.多题一解，做一题，学一法，会一类，通一片.

【解题思路】这是一道与例1同一思路的题目，只是建立在不同的圆锥曲线背景下，利用椭圆焦半径|PF2|∈[a-c，a+c]建立不等关系，学生能轻易写出解法.

【评注】本题中也可用|PF1|∈[a-c，a+c]，本质相同.

【基本想法】(1)遇到椭圆的焦点三角形，且已知两条焦半径的数量关系时，运用椭圆的焦半径范围的限制求解，即利用椭圆的焦半径|PF|∈[a-c，a+c]建立不等关系；

(2)由圆锥曲线上某一点P引出的两条焦半径满足的数量关系问题，这类问题的离心率的最值往往是当该点位于圆锥曲线的某顶点时取到；

(3)例1的方法1利用焦半径的性质解题的思路适用于椭圆，例1的方法2利用“三角形中任意两边之和大于第三边”建立不等关系的解题思路不适用于椭圆，因为在椭圆中，a>c恒成立，所以2a>2c恒成立，即|PF1|+|PF2|≥|F1F2|恒成立.

【思考】对照以上两题，运用类比推理的思想，是否可以将结论归纳推广？

上述两个结论只要分01两种情况，利用方法1的思路容易证明，学生在解答此类问题的填空题时便可直接取相应的顶点算出离心率的最值，可有效地缩短解题时间，提高解题正确率.

【设计意图】“为迁移而教”，塑造学生良好的认知结构.训练逻辑推理、直观想象和数学运算等核心素养.

【设计意图】已知两条焦半径的夹角时，以“数”入手，在焦点三角形中运用余弦定理、椭圆的定义，结合基本不等式寻找基本量的不等关系，训练数形结合、直观想象、相等与不等相互转化的能力，以及分析问题、解决问题的能力.

【解题思路】画出草图(如图)，利用余弦定理、椭圆的定义，结合基本不等式寻找基本量的不等关系.

由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2a，设|F1F2|=2c(c>0)，

在△F1PF2中由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|·|PF2|-2|PF1|·|PF2|cos120°=(2a)2-|PF1|·|PF2|，

【基本想法】已知两条焦半径的夹角时，在焦点三角形中运用余弦定理、椭圆的定义，结合基本不等式寻找基本量的不等关系.

4.辨析的功能性——以灵活运用，克服思维定式为主要作用

“微专题”研究到这里，学生基本能识别并解决一些有明显特征的问题，但是要想将学生思维引向深处，达到增强思维灵活性的目的，还是不够的，还要“趁热打铁”，做进一步研究.

【设计意图】提升对知识和方法的理解，本题将圆隐藏在已知条件里，隐晦地考查与圆相关的知识点.解答这类问题时，需要我们分析和探索，挖掘出这些隐藏的圆(简称隐形圆)，再利用和圆有关的知识从几何特征的角度出发寻找基本量的不等关系，训练数形结合、直观想象的能力，以及分析问题、解决问题的能力.

【基本想法】挖掘出隐藏的圆(简称隐形圆)，再利用和圆有关的知识从几何特征的角度出发寻找基本量的不等关系，充分发挥图形平面几何性质在简化运算中的作用.

【设计意图】感知变化，选择变量，运用函数和方程思想建立目标函数，转化为求函数的值域(或最值)，并体会椭圆的对称性和等价转化思想在求解过程中的运用，训练直观想象、逻辑推理和数学运算等核心素养.

【基本想法】建立目标函数e=f(α)，利用题中的条件不等式，转化为求函数的值域(或最值).

【例4】(2018·北京卷理·第14题改编)设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|=|A2B2|，其中A1，B1和A2，B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是________.

【设计意图】从几何特性出发，寻找动点运动的临界位置，体会极限思想和动静转化思想，体会一般问题特殊化、分类讨论等思想，训练数学抽象、数据分析和数学运算等核心素养.

【解题思路】设双曲线的焦点在x轴上，如图.由双曲线的基本性质可知，直线A1B1和A2B2关于x轴对称.分类讨论：

(2)若直线A1B1和A2B2与x轴的夹角均为60°，则将会有两对相交于点O、所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，不满足题意.

【基本想法】特殊化，即结合题干中的几何特性寻找动点运动的临界位置，寻找不等关系.

5.教学思考

微专题复习已成为提高高三学生数学二轮复习效率的有效办法.如何设计微专题，才能提高教学效益？笔者有如下几点思考.

5.1重基础，通本质，激活知识梳理

奥苏贝尔认为：有意义学习的发生和保持的最有效策略，就是利用适当的引导性材料对当前所学新内容加以定向与引导，唯有如此才能确保新旧知识间建立实质性的、非人为的联系，并把这种引导性材料称之为“先行组织者”.这就提醒我们要千方百计地摸底调査学生已有的知识基础，竭尽全力地弄清学生经历过的数学活动经验，并据此设计出学习新知识的引导性材料.

微专题教学的本质就是“为迁移而教”，为培育数学核心素养而教.“为迁移而教”的实质是塑造学生良好的认知结构.因此，微专题教学要重视学生原有的认知基础，要从学生思维最近发展区出发设计问题，激活知识梳理，构建起解决某一类问题较为清晰的“路线图”，这样既顺应了学生原有的认知基础，又能逐步改变学生的认知图式，从而使学生在新情境的问题解决过程中形成结构化的、具有高度认知灵活性的图式.

5.2重过程，通思维，促进数学理解

核心素养是学生在学习过程中逐渐形成的正确价值观、必备品质和关键能力，是知识、能力、思维、方法、情感和价值观的有机统一，核心素养的培养和发展不是一蹴而就的，培养和发展学生核心素养，一定要关注教学过程，使教学过程成为培养和发展学生核心素养的有效载体.

微专题教学讲究“限时讲授、合作学习、踊跃展示”.微专题教学对学生的要求是：有效先学、独立思考、适当合作、主动交流、大胆质疑、认真倾听、善于归纳；对教师的要求是：内容科学、善于引导、充分激励、语言精练、媒体适当.“微专题”教学中比较合适的教学过程是“小题引路，例题精讲，变式巩固”，即以小题带动知识与方法的复习，即知识梳理，以典型例题阐述知识和方法的应用，辅之以变式串讲，提升对知识和方法的理解，达到巩固加深的目的.微专题教学目标的达成不是教师用简单的方式直接灌输给学生，而是让学生在课堂上经历解决问题的过程，通过师生、生生间的有效交流自主生成.微专题复习的导学案要留白，避免形成“全方位式”的导学案现象.变式教学的内容不适宜提前印在导学案上，而是在课堂上生成，利用多媒体即时呈现，这样才能充分调动学生学习的热情，激励学生的探索精神，培养学生的创新意识，增强课堂生成的灵动性.

微专题“求圆锥曲线的离心率范围问题”结合学生实际，精心设计问题串，在问题的提出-分析-辨析-解决-基本想法的形成过程中，提升了学生的思维能力.每个问题最后要引导学生反思，及时进行提炼概括，培养学生从图形语言到数学语言再到符号语言的相互转化能力，最后形成的“基本想法”是提升学生思维、培育核心素养的有效途径，也是微专题能真正帮助学生突破难点的关键.

5.3重反思，通算理，培养运算能力

微专题复习常用“先解答后评讲”的方式组织教学，既是根据高三教学特点，增加课堂容量，也是基于学情判断，有针对性地教学.在组织讲评式复习教学时要区别于一般的习题讲评课，要调研学生完成学案的情况，并重点关注四个问题：一是学生做断的问题：教师应询问、了解学生为什么做不下去、卡売的原因是什么，思考解决的对策与方法；二是学生做错的问题：让学生自觉发现错误，并引导学生思考出错的根源以及如何避免再犯错误，并设计补偿性问题；三是学生做繁的问题：繁的背后是什么?通常是对知识、方法认识不全面，或是不能灵活选择合理的方法，这时需设计最优的解题算法；四是学生做对的问题：要求学生能讲清解题思路的生成过程，思考题目背后的道理，理清不同解法包含的数学思想和解题策略.调研的目的是为了深入了解学情，调整和优化课堂教学设计，既要针对学生的错误或易错点重点讲评，也要对重要知识处进行复习.复习知识，串讲方法，将知识与方法织成网络，提升学生综合应用的能力.