关于复Hermite阵与实对称阵的相似

许晓玲

(闽江学院数学与数据科学学院，福建 福州 350108)

0 引言

和实对称矩阵一样，(复)Hermite阵是应用非常广泛的一类结构矩阵。实对称矩阵和Hermite阵有许多共同的地方，但多数人似乎通常只习惯于讨论对称阵而忽视了对Hermite阵的讨论[1-12]. 事实上，从计算的角度来说，这两类矩阵最不同的地方是：复Hermite阵通常要涉及到复数的运算，而实对称矩阵则不需要。具体到特征值问题来说，众所周知，Hermite阵酉相似于实对角阵，即复Hermite阵的特征值都是实的，但特征向量却肯定是复的。由于复运算的工作量通常是实运算的4倍，因此如何减少计算Hermite阵特征对的复运算量，显然是一个有意义的、值得研究的问题。1965年，著名的数值分析专家Wilkinson把一个N阶复Hermite阵特征对的计算问题转化为一个2N阶实对称阵特征对的计算问题，开辟了一条通过变换方式将它的特征值问题转化为实对称矩阵的特征值问题的处理之路[6]。具体来说，假定A=B+iC是一个N阶Hermite阵，其中B与C是N阶实矩阵，i是一个虚数单位，那么容易证明：B是实对称阵，C是实反对称阵，2N阶实对称阵

(1)

的每个特征值都是偶数重的，是A的特征值。这样就可以通过充分利用已有的实对称矩阵特征值的有效算法求出M的特征值，从而求出复Hermite阵A的特征值。但是由于转化后得到的矩阵阶数翻倍，因此能否针对这样的2N阶实对称矩阵的特征值问题设计出快速有效的算法，成为这种复转实的转换是否有意义的关键。

受文献[13]想法的启发，本文讨论一种比Wilkinson给出的更有效的复转实的转化方式：研究有哪些特殊类型或形状的N阶复Hermite阵的特征值问题只需要通过简单的酉相似变换可转化为N阶(而不是2N阶)的实对称阵特征值问题来处理。包括三对角的和箭形的矩阵，很容易通过酉相似变换到与复Hermite矩阵同形状的实对称阵，这样它的特征对就很容易通过酉相似变换后得到的同形的实对称阵的特征对计算得到。

1 三对角和箭形Hermite矩阵与同形实对称阵的相似

定理1复n阶Hermite三对角矩阵

(2)

酉相似于实n阶对称三对角阵

(3)

证明构造酉矩阵

P=diag(p0,p1,…,pn-1)

(4)

至于特征向量的计算，有

推论2只要|bi|=|ci|,i=1,2,…,n-1，那么两n阶三对角矩阵(不论是复Hermite矩阵还是实的对称阵)。

都是(酉)相似的。

这个推论说明，两个同阶的、对角相等的三对角矩阵，不论是复的Hermite矩阵还是实的对称阵，只要它们相应的次对角元的模(绝对值)相等，它们就是相似的。

定理1还有一个很有趣的推论。

推论3实对称矩阵

与实对称三对角矩阵

下面讨论另一形状的矩阵——箭形矩阵，得到完全类似于三对角Hermite矩阵的结果。

定理2复n阶箭形Hermite矩阵

(5)

酉相似于实n阶箭形实对称矩阵

(6)

证明与定理1的证明类似，构造酉矩阵

F=diag(f0,f1,…,fn-1)

(7)

其中，

下面两个推论的证明类似推论1、推论2的证明。

推论5只要|di|=|ei|,i=1,2,……,n。那么，两n阶箭形矩阵(不论是复Hermite阵，还是实对称阵)

都是(酉)相似的。

2 推广与讨论

很容易验证上节有关三对角和箭形Hermite矩阵的结果可推广到诸如下面形状的矩阵

但是，下面一个简单的例子说明并不是所有的复Hermite矩阵都会酉相似于一个实对称阵。

例如：3阶的复Hermite矩阵

事实上，A的3个近似特征值为-1.955 5，0.335 6，7.619 9，而对应的同型实对称矩阵