具有Crowlay-Martin功能性反应的偏利系统的动力学行为

魏 臻

(福建技术师范学院电子与信息工程学院，福建 福清 350300)

0 引言

偏利是指两个种群之间的一种共存作用，这种作用使得其中一个种群从另一个种群受益而另一个种群既没有受到前一个种群的损害也没有受益于前一个种群。

近年来，学者们对偏利模型进行了研究，得到了许多有趣的结论[1-10]。HAN等研究反馈控制对偏利系统的影响，得到了系统存在唯一全局稳定的正平衡点[1]。WU等研究具有非线性Holling型功能性反应的偏利系统，得到系统存在唯一正平衡点[2]。WU等研究带Holling型功能反应和第二种群具有Allee效应的偏利系统的动力学行为，得到系统存在唯一全局稳定的正平衡点[3]。LEI对第一种群具有Holling型功能反应和Allee效应进行研究，得到了系统存在唯一全局稳定的正平衡点[4]。

(1)

其中，a1,a2,b1,b2,m1,m2,c均为正常数。研究系统(1)可能平衡点的局部和全局的稳定性。

1 主要结果

系统 (1) 的平衡点由下面方程给出

(2)

(b2+m2a2)b1m1x2+(b1-a1m1)(b2+m2a2)x-ca2-a1b2-m2a1a2=0.

设f(x)=(b2+m2a2)b1m1x2+(b1-a1m1)(b2+m2a2)x-ca2-a1b2-m2a1a2=0,由

Δ=(b1-a1m1)2(b2+m2a2)2+4(b2+m2a2)b1m1(ca2-a1b2-m2a1a2)>0和f(0)<0

下面考虑平衡点的局部稳定性。

证明系统(1)的Jacobian矩阵为

(3)

则M(x*,y*)<0，显然J(E3)的两个特征根为λ1=M(x*,y*)<0,λ2=-a2<0，则E3(x*,y*)是稳定的结点。定理1 证明完成。

上面的分析表明系统(1)总是存在一个正平衡点，这个正平衡点是局部稳定的，而其他3个边界平衡点是不稳定的，下面讨论第一象限内是否存在极限环。

定理2E3(x*,y*)是全局渐近稳定的。

2 数值模拟

例1 考虑系统

(4)

图1 系统(4)的动力学行为

图2 系统(4)的数值模拟图

3 结论

本文探讨一类具有Crowlay-Martin功能性反应的偏利系统的动力学行为，研究了系统平衡点的局部稳定性和全局稳定性。得到了系统存在唯一全局渐近稳定的正平衡点，并举例说明可行性，其结论与文献[1-4,6]相同，可见这几类功能性反应并没有改变这类偏利系统唯一正平衡点的全局稳定性。是否其他类型的功能性反应也有类似的结论，有待进一步探讨。