基于数学学科核心素养的高考数学试题测评分析——以2020年全国卷Ⅱ高考数学试题为例

文∣覃淋 杨琴

2020年高考是在出台新的课程标准，全面提出发展学生核心素养的背景下进行的。核心素养是育人价值的集中体现，是通过学习而逐步形成的正确价值观念，是能够适应终身发展和社会发展需要的必备知识和关键能力。[1]

数学学科核心素养是具有数学基本特征的思维品质、关键能力及情感、态度与价值观的综合体现，是在数学学习和应用过程中逐步形成和发展的。[2]具体表现为会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界。发展学生的数学学科核心素养是数学课程的核心目标。《2020年普通高等学校招生全国统一考试大纲(数学)》在“能力要求”中提到五种能力(空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理)和两种意识(应用意识和创新意识)，五种能力分别对应直观想象、数学抽象、逻辑推理、数学运算和数据分析五种数学核心素养，应用意识对应数学建模这一数学核心素养。

从2017年开始，我国高考从能力立意向素养导向转变，以数学知识为载体，突出对学生数学学科核心素养的考查。2020年高考坚持立德树人和以文育人的基本理念，高考数学试题以问题情境为载体突出数学应用、融入数学文化、渗透数学思想方法、淡化解题技巧、注重通性通法、关注数学本质，试题具有基础性、综合性、应用性和创新性等特点。基于数学学科核心素养的命题，可以有效地检测学生的数学核心素养的发展水平。本文基于数学学科核心素养的视角，对2020年全国卷Ⅱ高考数学试题进行评析。

一、试题结构与内容分析

2020年高考数学全国卷Ⅱ分为文、理两科，适用地区包括：甘肃、青海、黑龙江、吉林、辽宁、宁夏、新疆、内蒙古、陕西、重庆，这十省市区主要分布在我国东北与西部地区，涉及地域较广，是我国推进教育改革相对缓慢的地区。所以，研究全国卷Ⅱ高考数学试题对数学学科核心素养的考查情况，对推进我国数学课程改革和教育公平有着十分重要的意义。

2020年高考结束后，全国卷Ⅱ受到了很多人的热议，其中以理科卷第4题和文科卷第3题为最。从整体上看，试题延续了全国卷Ⅱ的命题风格，注重对“四基”(基础知识、基本技能、基本数学思想方法、基本活动经验)、“四能”(发现问题、提出问题、分析问题、解决问题)、“三会”(会用数学眼光观察世界、会用数学思维思考世界、会用数学语言表达世界)和六大数学学科核心素养(数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析)的考查，多角度、多层面地考查了学生的数学学科核心素养。

文理科试卷各有12道单项选择题(60分)、4道填空题(20分)、5道必考解答题(60分，各12分)、2道选考解答题(2道选考题分别考查参数方程和不等式的内容)。试卷分值分布为选择题60分、填空题20分、解答题70分(选考题10分)。2020年高考数学全国卷Ⅱ (理科)各知识模块分值分布与考查内容分析，具体见表1。

表1 全国卷Ⅱ试题(理科)的统计结果

2020年高考数学全国卷Ⅱ(文科)各知识模块分值分布与考查内容分析，具体见表2。

表2 全国卷Ⅱ试题(文科)的统计结果

从表1、表2可知，2020年高考数学全国卷Ⅱ文、理科试卷考查的数学知识大体相同，但有部分知识点不同。比如理科试卷中没有涉及程序框图的题目，而文科有。文、理科相同试题比例与前几年相比有所提高，2套试卷中有11道试题完全一样，几乎占试题总量的一半，其中选择题5道，填空题1道，解答题5道；2套试卷相同题目的分值高达86分。2套试卷均以解析几何内容的试题最多，分值也最高，彰显了新高考数学试卷文理科合卷的趋势，这对高中数学的教学有一定的导向作用。

在分值比重上，各个知识模块所占比例大致相当。集合部分都设置了一道选择题；复数部分理科是填空题，文科是选择题，分值一样。立体几何部分，理科多了一道三视图的选择题，还有1道选择题一样，题号不同，填空题一模一样，解答题第2问考查内容有所不同，文科是求四棱锥的体积，理科则是考查线面角。概率与统计部分，所占比重一样，文理科有一道选择题一样，解答题考查的知识点却不同。函数与导数部分，仅有1道选择题一样，解答题考查侧重点不一样，理科偏向于导数应用以及逻辑推理的考查，文科则更注重对基础知识和基本技能的考查。三角函数部分，文理科所占比重都是10.625%，考查的知识点都是正弦定理、余弦定理以及倍角公式，但问题设置不尽相同，理科设置了1道选择题，1道解答题；文科设置了1道填空题，1道解答题。解析几何部分，文理科所占比重都是23.125%，2套试题除了平面向量的题目不同外，其余试题完全一样。数列部分，文理科主要都是考查等差数列的前n项和公式、等比数列的通项公式以及前n项和公式，理科设置了2道选择题和1道填空题，文科则设置了1道选择题和填空题。概率与统计部分，其中选择题和解答题文理科一样，理科多了一道排列组合的题目。

二、基于数学学科核心素养的高考数学试题分析

我们对2020年高考数学全国卷Ⅱ的文理科试卷中的试题逐一进行分析，每一道试题考查的数学学科核心素养见表3。

表3 高考数学试题对数学学科核心素养的考查

由表3可以发现，(1) 大多数试题对数学学科核心素养的考查并不是单一的，往往一道试题考查了多个数学学科核心素养，这和标准中提到的“六大数学学科核心素养是相互交融的有机整体”相呼应；(2) 试题对六大数学学科核心素养都进行了考查，但考查的重点不一样；(3) 试题非常注重对数学运算素养、逻辑推理素养的考查，两套试卷共46道试题中，就有38道对数学运算素养进行考查，有26道试题考查了逻辑推理素养；(4) 对数学抽象素养、数学建模素养以及数据分析素养的考查较少；(5) 文理科试题对六大数学学科核心素养的考查趋势一致，对核心素养考查由多到少依次为：数学运算、逻辑推理、直观想象、数学抽象、数学建模、数据分析。为更清楚地分析2020年高考数学全国卷Ⅱ对数学学科核心素养的考查，结合试题，具体分析试题所考查的数学学科核心素养。为方便分析，本文在分析时，每道题重点关注一个核心素养。

(一)对数学抽象素养的考查

数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养。数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学产生、发展、应用的过程中。新课标要求学生“通过高中数学课程的学习，能在情境中抽象出数学概念、命题、方法和体系……养成在日常生活和实践中一般性思考问题的习惯，把握事物的本质，以简驭繁；运用数学抽象的思维方式思考并解决问题”。

2020年全国卷Ⅱ中，对数学抽象素养进行考查的试题理科有6道，文科为4道，下面以理科第9题为例。

【例1】(理科9) 设函数f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|，则f(x)( )

此题主要考查分段函数的奇偶性以及单调性的判断，涉及复合函数单调性的判断。本题的关键是通过函数奇偶性的定义来进行判断，先确定函数的定义域，再根据奇偶函数的定义来确定f(x)是一个奇函数。排除A、C后，再对f(x)的单调性进行判断，题设中给出的函数解析式较复杂，需要根据自变量的范围化简函数，这样就会大大简化问题，最后根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论。此题重点考查数学抽象素养，同时对逻辑推理、数学运算素养也有所考查。

高中阶段，教师需要进一步引导学生体会数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维、培养理性精神的重要基础。学生要能从比较具体的情境中，抽象出一般的数学概念和规则，并对命题作简单的推广，积累从具体到抽象的活动经验。

(二)对逻辑推理素养的考查

逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的思维过程。主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比；一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎。逻辑推理是数学最重要的特征之一。新课标要求学生“通过高中数学课程的学习，能掌握推理的基本形式，学会有逻辑地思考问题……形成重论据、有条理的思维品质和理性精神”。我们认为培养人的理性精神，是数学教育最重要的目标。在平时的课堂教学中，教师应有意识地将逻辑推理(不仅仅是演绎推理，也包括归纳和类比等)贯穿于整个高中数学教学过程中，注意对学生的逻辑推理素养的培养。

2020年的全国卷Ⅱ非常重视对逻辑推理素养的考查。以理科第11题(文科12)为例。

【例2】(文科12理科11) 若2x-2y<3-x-3-y，则( )

A.ln(y-x+1)>0 B. ln(y-x+1)<0

C. ln|x-y|>0 D. ln|x-y|<0

将不等式变形为2x-3-x<2y-3-y，可以发现不等号两边式子的形式是一致的。因此考虑构造函数f(t)=2t-3-t，再利用函数的单调性即可得到答案。

令f(t)=2t-3-t，可知f(t)为R上的增函数，所以x0，从而y-x+1>1，从而ln(y-x+1)>0，则A正确，B错误；

因为|x-y|与1的大小关系不确定，选项C、D无法确定，故选A。

本题考查了函数的单调性、指数运算以及不等式的大小比较等基础知识，考查了学生的计算能力，在试题中渗透了函数、转化等数学思想方法。学生首先必须根据题设给出的等式进行变形，想到通过构造函数来解决。从难度上看，这是一道中等题。

此题主要考查逻辑推理、数学运算、数学抽象等数学学科核心素养，逻辑推理素养的具体表现之一就是能够根据已知条件，判断或证明数学命题，或是将问题进行转化，将不熟悉变为熟悉，从而解决问题。关键是要厘清已知条件和结论之间的潜在关系。

(三)对数学建模素养的考查

数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养。数学模型搭建了数学与外部世界联系的桥梁，是数学应用的重要形式。

在面对具有现实生活背景的实际问题时，学生要能运用已有的数学知识和经验，对现实问题进行“数学化”。首先将实际问题进行简化，转化为数学问题，然后对问题进行进一步符号化处理，解决问题，最后是回顾、总结和分析已经完成的数学化的过程。素养导向的高考命题注重情境化设计，从现实社会中提取材料，设置问题，考查学生发现、提出、分析和解决实际问题的能力。数学建模素养能帮助学生用数学的眼光看世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界。这是数学学习的重要目标之一——学会数学化。

【例3】(理科4) 北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)( )

A. 3699块 B. 3474块

C. 3402块 D. 3339块

根据题意可知，每环的石头数成等差数列，{an}是以9为首项，9为公差的等差数列，设Sn为{an}的前n项和，由题意可得S3n-S2n=S2n-Sn+729，解方程即可得到n，进一步得到S3n。

此题以天坛圜丘坛为背景，背景新颖，将圜丘坛这一文化元素融入试题。不仅体现了数学的对称美，还将数学与建筑联系起来了，让学生感受数学文化的魅力，体会数学的美学意义，体现了数学“以文育人”“以文化人”的功能，也彰显了新课标渗透数学文化的理念。

本题考查的知识点有两个：如果{an}是等差数列，设Sn为{an}的前n项和，则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也是等差数列，公差为n2d；等差数列的前n项和公式。此题主要考查数学建模、数学运算等数学学科核心素养，考查了学生运用数学知识和方法去解决实际问题的能力，充分体现了数学学科核心素养立意的命题导向。数学模型搭建了数学与外部世界的桥梁，是数学应用的重要形式。这类试题体现了“数学来源于现实，存在于现实，并应用于现实”。强调数学的应用性，是高考命题一直坚持的方向，也是国际数学课程改革重点关注的方向之一。[3]

(四)对直观想象素养的考查

直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养。直观想象是发现和提出问题、分析和解决问题的重要手段，是探索和形成论证思维、进行数学推理、构建抽象结构的思维基础。

新课标要求学生“通过高中数学课程的学习，提升数形结合的能力，发展几何直观和空间想象能力；增强运用几何直观和空间想象思考问题的意识”。

2020年高考数学全国卷Ⅱ的文理科试题中，考查直观想象素养的试题理科卷7道，文科卷6道，以理科第7题为例。

【例4】 (理科7)如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，则该端点在侧视图中对应的点为( )

A.EB.FC.GD.H

根据三视图，画出多面体立体图形，即可求得M点在侧视图中对应的点。

根据三视图，画出多面体立体图形，D1D4上的点在正视图中都对应点M，直线B3C4上的点在俯视图中对应的点为N，所以在正视图中对应M,在俯视图中对应N的点是D4,线段D3D4，上的所有点在侧视图中都对应E，所以点D4在侧视图中对应的点为E，故选A。

本题主要考查了根据三视图判断点的位置和空间想象能力。从难度上看，是一道基础题。考查的数学学科核心素养是直观想象、数学运算，解题关键是掌握三视图的基础知识和根据三视图能还原立体图形的方法。学生直观想象素养主要表现为“能够在关联的情境中，想象并构想出相应的几何图形，发现图形与图形、图形与数量之间的关系，并体会几何直观的作用与意义”。

(五)对数学运算素养的考查

数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养。主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果。数学运算是解决数学问题的基本手段，是演绎推理、计算机解决问题的基础。

新课标要求学生“通过高中数学课程的学习，进一步发展数学运算能力；有效借助运算方法解决实际问题；通过运算促进数学思维发展，形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神”。

数学学科核心素养中的数学运算不仅指数字运算，也包括字母与式子的运算，以及对算法和程序的理解与应用。数学运算素养是历年高考考查的重点，2020年高考数学全国卷Ⅱ文、理科试题中，考查数学运算素养的试题数量较多，以文科第7题为例。

【例5】(文科7)执行右边的程序框图，若输入的k=0,a=0，则输出的k为( )

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出的k值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，即可求得答案。

此题主要考查了学生对程序框图的算法功能的理解，考查了学生的运算求解能力。从难度上看，这是一道基础题。此题主要考查数学学科核心素养中的数学运算，要求学生能够理解运算法则的意义和作用，并能够通过程序思想理解与表达问题。

数学运算是学生应具备的最基本的以及最重要的数学素养。在解题过程中，数学运算素养的具体表现就是学生能够在有限的时间内找准题目中的运算对象，对问题进行重新的数学表征，尽可能地寻找简洁的运算途径。但是，学生一旦对问题的表征出现错误，就很可能无法解决问题，或是将问题复杂化[4]。在教学中，教师应注意训练学生的数学运算能力以及对算法化程序化的理解。

(六)对数据分析素养的考查

数据分析是指针对研究对象获取数据，运用数学方法对数据进行整理、分析和推断，形成关于研究对象知识的素养。数据分析过程主要包括：收集数据，整理数据，提取信息，构建模型，进行推断，获得结论。

数据分析是研究随机现象的重要数学技术，是大数据时代数学应用的主要方法，已经深入科学、技术、工程和现代社会生活的各个方面。新课标要求学生“通过高中数学课程的学习，提升获取有价值的信息并进行定量分析的意识和能力，增强基于数据表达现实问题的意识，形成通过数据认识事物的思维品质，积累依托数据探索事物本质、关联和规律的活动经验”。

(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数)；

(2)求样本(xi,yi) (i=1,2,3, …, 20)的相关系数(精确到0.01)；

(3)根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大，为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由。

此题以沙漠地区生态系统的改善为背景命制而成，阅读量较大。第(1)问考查平均数的估计值，直接用样区野生动物平均数乘以地块数即可：

本题在考查学生数学阅读能力的同时，重点考查了数据分析素养，且对数学运算素养也有所考查，从难度上看，是一道容易题。解决此问题需要学生掌握数据分析的方法，有较好的数据分析观念。数据分析是大数据时代数学应用的重要方法之一，此题要求学生能够在运用统计方法解决问题的过程中，理解统计结论的意义，理解数据分析在大数据时代的重要性，养成通过数据思考问题的习惯。在教学中，教师应通过问题创设，引导学生经历数据分析的整个过程，体会统计思维与确定性思维的差异。

2020年的高考数学全国卷Ⅱ，遵循《2020年普通高等学校招生全国统一考试大纲》的要求和素养立意的命题理念，保持了历年全国卷的风格，试题设计立足学科核心素养和主干知识，充分体现了数学的科学价值、文化价值、应用价值和理性精神，将基础知识、基本技能、基本数学思想方法和基本活动经验融为一体，深化数学学科核心素养，重视知识交汇，渗透数学文化，不仅注重考查学生的基础知识和基本技能，更注重考查基本数学思想方法与数学学科核心素养，强调关注学生的数学学习过程。文、理科试题均以基础知识为载体，以思维能力为核心，除了全面考查学生数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等学科核心素养外，还对学生的德智体美劳“五育”有所要求。[5]

可以看出，基于数学学科核心素养的命题是基础教育数学课程改革的必然趋势，也是国际数学教育改革的大方向。要求教师在平时的教学中关注学生数学学科核心素养的发展，重视对学生数学学科核心素养和数学素养的培养。数学作为基础教育的核心课程，在学生的后续发展和终身教育中扮演着重要的角色，数学素养以及数学学科核心素养是课堂教学需要落实的重要因素，要求教师将数学学科核心素养的培养贯穿于教学活动的全过程，促进学生数学学科核心素养的形成和发展，培养学生具有适应终身发展和社会发展所需要的必备品格和关键能力。