从功能关系的角度归类分析力学综合问题

广东 蔡 钳

动量与能量结合的综合问题，在高考试题中非常常见，且经常以压轴题的形式出现。在系统(两个以上的物体组成)内物体间的相互作用中，应用牛顿运动定律结合动量守恒定律、功能关系解决问题，是常见的思路。如果能处理好功能关系，解决这类问题可以事半功倍。

常见的功与能的关系有：(1)克服摩擦力做功转化为内能；(2)克服重力做功转化为重力势能；(3)克服弹力做功转化为弹性势能；(4)克服电场力做功转化为电势能；(5)克服安培力作用转化为电能进而转化为焦耳热。本文主要通过分类归纳这些功能关系问题，聚焦内能、重力势能、弹性势能、电势能和焦耳热与动能之间的转化过程，探讨解决问题的思路和方法。

一、弹簧类问题——通过弹力做功储存与释放弹性势能

【问题1】如图1所示，在光滑水平地面上有一质量为m的木块A，靠在竖直墙壁上，用一轻质弹簧与质量为2m的物体B相连。现用力向左推B，使弹簧压缩至最短时，外力对B做的功为W，然后突然释放。

图1

(1)分析此后弹簧的弹性势能何时再次达到最大值；

(2)求木块A所获得的最大速度和最小速度。

【分析与解答】

过程分析：抓住弹力做功与弹性势能变化进行分析。

1.外力向左推物体B的过程(储存势能)：外力推B压缩弹簧，克服弹力做功，将外力做的功转化为能量储存在弹簧中，弹簧获得弹性势能E0=W；

3.物块B和弹簧拉着物块A向右运动，弹簧伸长。动能转化为弹性势能，当vA=vB时弹簧的弹性势能最大。(储存弹性势能)。弹簧第一次被拉伸至最长时，由动量守恒定律和机械能守恒定律得

2mvB0=(2m+m)v

4.当弹簧的长度大于原长时，A受到弹簧的拉力作用，始终被加速；当弹簧长度小于原长时，A受到弹簧的推力作用，始终被减速。A获得最大速度和最小速度出现在其加速和减速过程结束的时刻，即弹簧处于原长时，此时Ep=0，弹性势能释放完毕，全部转化为动能，由动量守恒定律和机械能守恒定律得

2mvB0=mvA+2mvB

从以上过程分析，不难发现解决弹簧类的动量和能量问题，抓住弹性势能的变化过程，是解题的关键。

图2

(1)求P第一次运动到B点时速度的大小；

(2)求P运动到E点时弹簧的弹性势能。

【分析与解答】

过程分析：抓住弹性势能与其他能量的转化

1.小物块P从C下滑第一次到达B，重力势能转化为动能和内能，由功能关系可知

2.从B到E的过程，动能和重力势能转化为弹性势能和内能(储存势能)，设E与B距离为x，则

3.从E到B的过程，弹性势能转化为动能、重力势能和内能(释放势能)，则

从B到F由功能关系可知

从以上过程分析，不难发现抓住弹性势能与动能、重力势能和内能之间的转化过程，是解题的关键。

【变式2】轻质弹簧原长为2l，将弹簧竖直放置在地面上，在其顶端将一质量为5m的物体由静止释放，当弹簧被压缩到最短时，弹簧长度为l，现将该弹簧水平放置，一端固定在A点，另一端与物块P接触但不连接。AB是长度为5l的水平轨道，B端与半径l的光滑半圆轨道BCD相切，半圆的直径BD竖直，如图3所示，物块P与AB间的动摩擦因数μ=0.5。用外力推动物块P，将弹簧压缩至长度l，然后放开，P开始沿轨道运动，重力加速度大小为g。

图3

(1)若P的质量为m，求P到达B点时的速度的大小，以及它离开圆轨道后落回到AB上的位置与B点之间的距离；

(2)若P能滑上圆轨道，且仍能沿圆轨道滑下，求P的质量的取值范围。

【分析与解答】

过程分析：抓住弹性势能与其他能量的转化。

1.通过重力做功储存弹性势能：竖直放置时，重力势能转化为Ep弹，由机械能守恒得5mgl=Ep，此时弹簧长度为l；水平放置时用外力推至弹簧长度为l，弹性势能也为Ep。

2.弹簧将弹性势能释放后，弹性势能转化为动能和内能，由能量守恒定律可知Ep=EkB+Q

3.从B运动至D过程中动能转化为重力势能，由动能定理可知

此后，物体做平抛运动可知

4.假设物块质量为m′，弹簧从相同长度释放，弹性势能转化为动能和内能，则

若要滑上圆弧还能沿圆弧滑下，则最高不能超过C点此时假设恰好到达C点，则根据能量守恒定律可知

5mgl=μm′g·4l+m′gl

【解题思路】通过上述分析过程，不难发现弹簧类问题，始终“抓住”弹性势能的储存和释放过程，弄清楚弹性势能与其他形式能量之间的转化问题。

解题方法可归纳为：释放弹簧或压缩弹簧过程——能量守恒；圆弧上转动过程——动能定理；平抛过程——运动的分解：弹簧拉或弹开物块过程——动量守恒。

二、相对滑坡问题——“分析”重力势能与动能之间的转化

【问题2】在光滑水平地面上放有一质量为M带光滑弧形槽的小车，一个质量为m的小铁块以速度v0沿水平槽口滑去，如图4所示，求：

图4

(1)铁块能滑至弧形槽内的最大高度；(小车上滑槽足够高)

(2)小车的最大速度；

(3)若M=m，则铁块从右端脱离小车后将做什么运动？

【分析与解答】

过程分析：抓住重力势能与动能的转化。

1.铁块滑至最高处时，有共同速度v(相互作用过程，水平动量守恒)

mv0=(M+m)v

2.滑块滑上弧面最高位置，滑块的重力势能转化为系统的动能

3.铁块从小车右端滑离小车时，小车的速度最大为v1，此时铁块速度为v2，相互作用过程水平动量守恒，则

mv0=Mv1+mv2

4.滑块从最高处下滑过程，滑块的重力势能转化为系统的动能，则

当M=m时，解得v2=0，因铁块滑离小车后只受重力，所以做自由落体运动。

【变式3】上题中，若车上滑槽不够高，且滑槽上端是竖直面，求滑块离开小车后上升的最大高度h。

【分析与解答】

过程分析：始终抓住重力势能与动能的转化。

滑块离开小车时，水平速度与小车相同，设为v3；滑块离开小车后，仅受重力作用，故水平速度不变，当滑块的竖直速度减小为零时，滑块到达最高点，设滑块该过程上升的高度为h。

1.相互作用过程中，水平方向动量守恒，则

mv0=(M+m)v3

2.滑块从滑上小车，直到滑块到达最高点的过程中，动能转化为重力势能，则

【解题思路】解决物块与小车“相对滑坡”的问题，抓住两个关键点：(1)重力势能与系统动能之间的转化(或许由其他形式能量)；(2)当滑块不再相对小车滑动时共速，滑块在小车上到达最高点(滑块不脱离小车)；(3)若滑块滑上光滑小车后又滑回小车底端，重力势能没有变化，初、末动能相等。

三、板块类问题——“聚焦”摩擦生热与系统动能之间的变化关系

【问题3】如图5所示，质量M=3.5 kg的小车静止于光滑水平面上靠近桌子处，其上表面与水平桌面相平，小车长L=1.2 m，其左端放有一质量为0.5 kg的滑块Q。水平放置的轻弹簧左端固定，质量为1 kg的小物块P置于桌面上的A点并与弹簧的右端接触。此时弹簧处于原长，现用水平向左的推力将P缓慢推至B点(弹簧仍在弹性限度内)时，推力做的功为WF=6 J，撤去推力后，P沿桌面滑到小车上并与Q相碰，最后Q停在小车的右端，P停在距小车左端0.5 m处，已知AB间距L1=5 cm，A点离桌子边沿C点距离L2=90 cm，P与桌面间动摩擦因数μ1=0.4，P、Q与小车表面间动摩擦因数μ2=0.1，P、Q均视为质点(重力加速度g取10 m/s2)求：

图5

(1)P到达C点时的速度vC；

(2)P与Q碰撞后瞬间Q的速度大小。

【分析与解答】

过程分析，始终聚焦：FfΔs=Q(Q是板块的动能转化而来)。

解得vC=2 m/s

2.设P、Q碰后速度分别为v1、v2，小车最后速度为v，相互作用过程中动量守恒，则

m1vC=m1v1+m2v2，m1vC=(m1+m2+M)v

3.碰后P、Q的动能转化为系统最终的动能和系统摩擦产生的内能，由能量守恒定律得

(聚焦关键点：滑块Q与小车的相对路程是L，P与小车的相对路程是s)

图6

(1)A、B最后速度的大小；

(2)铁块A与小车B之间的动摩擦因数；

(3)铁块A与小车B的挡板相碰撞前后小车B的速度，并在图7坐标中画出A、B相对滑动过程中小车B相对地面的v-t图线。

图7

【分析与解答】

过程分析，始终聚焦：FfΔs=Q(Q是板块的动能转化而来)。

1.对A、B系统，相互作用过程中动量守恒，则

mv0=(M+m)v

2.在相对滑动过程中，系统的动能转化为摩擦产生的内能，该过程物块相对小车走过的路程为1.5L，由功能关系可知

3.设A、B碰撞前速度分别为v10和v20，相互作用过程动量守恒，则mv0=mv10+Mv20

4.A从滑上小车，到与挡板碰撞过程，相对路程为L，该过程系统动能转化为内能

5.求滑块的速度与时间变化关系的问题，要应用牛顿运动定律，该过程小车B做匀加速运动有

6.A、B相碰，设A、B碰后A的速度为v1和v2，相互作用过程中动量守恒mv0=mv1+Mv2

7.由系统机械能守恒可知

该过程小车B做匀减速运动，由牛顿第二定律可知

-μmg=MaM

到最终相对静止v=v2+aMt2，t2=0.433 s

故运动的总时间为t=t1+t2=0.75 s

小车B的v-t图如图8所示。

图8

【解题思路】通过上述分析过程，不难发现板块类问题，始终“聚焦”系统克服摩擦力做的功等于系统的发热量即FfΔs=Q，清楚板块的动能与内能之间的转化关系，便可求解。

解题方法可归纳为：系统动能的减少量等于摩擦生热(摩擦力与相对路程的乘积，找到相对路程是关键)——功能关系；板块相互作用过程——动量守恒；板块运动速度和时间的关系——分别用牛顿第二定律结合运动学公式求解。

四、电荷、导体的相对运动——“寻找”其他形式的功能关系

【问题4】如图9所示，在倾角为θ的斜面上有一辆小车，车的底板绝缘，金属板A、B、C等大、正对、垂直地安放在车的底板上，它们之间依次相距L，A、B板上各有一等高、正对的小孔，A与B、B与C之间反向连有电动势各为E1、E2的直流电源。小车总质量为M，正以速度v0匀速下滑，此时有一带负电的小球正以速度v(v

图9

(1)小球在A、B板间的运动时间；

(2)要使小球刚好打到C板上，E1、E2的大小有何关系？

【分析与解答】

过程分析：小球与小车通过电场力相互作用过程中，电场力做功与系统电势能的关系、机械能与电势能的相互转化关系，是解题的关键。

又由于u=v+at

2.小球由A至C先做匀加速运动，后做匀减速运动。设小球运动到C之前与小车有相同的速度v′。小球与小车相互作用过程中动量守恒，则Mv0-mv=(m+M)v′

3.由小车原来匀速运动知，减少的重力势能恰好等于克服滑动摩擦力做的功。小球与车通过电场力相互作用，小球克服电场力做功大小为qE2，电场力对小球做的正功为qE1，则系统的电势能增量为qE2-qE1

根据能量转化及守恒可知

联立以上各式解得满足题意的条件是

【解题关键】抓住系统通过电场力相互作用的过程中，电场力做功与电势能变化的关系以及电势能与动能的转化关系为解题的关键。

【问题5】如图10所示，空间存在着一个范围足够大的竖直向下的匀强磁场区域，磁感应强度大小为B，边长为L的正方形金属框abcd(下简称方框)放在光滑的水平地面上，其外侧套着一个与方框边长相同的U型金属框架MNPQ(下简称U型框)，U型框与方框之间接触良好且无摩擦。两个金属框每条边的质量均为m，每条边的电阻均为r。给U型框垂直NP边向右的初速度v0，如果U型框恰好不能与方框分离，则在这一过程中两框架上产生的总热量为多少？

图10

图11

【分析与解答】

过程分析：始终抓住通电导线在克服安培力做功的过程中，克服安培力做的功等于系统的焦耳热。即系统焦耳热与系统动能之间的转化关系。

方框(U型框)每条边的质量为m，则U型框﹑方框的质量分别为3m和4m。又设U型框恰好不与方框分离时的速度为v，此过程中产生的总热量为Q，由动量守恒定律可知

3mv0=(3m+4m)v(解题关键：相互作用过程中，动量守恒)

由能量转化及守恒可知