探析给定晶胞中原子分数坐标的书写方法

陕西 葛秋萍 李歆瑞

晶胞作为构成晶体的最小结构单元，是研究晶体结构的基础，也是历年高考试题中必不可少的内容。近年来，试题中出现了对晶胞中原子分数坐标的考查，作为晶胞的基本要素之一，虽然各个版本的《物质结构与性质》教材中均未介绍该内容，但在人教版高中数学选修2-1教材中“空间向量的正交分解及其坐标表示”章节对分数坐标作了专门介绍。鉴于此，这类考试题往往给出学生相关分数坐标的信息，让学生写出晶胞中给定原子的分数坐标，一方面考查学生迁移数学知识解决化学问题的能力，另一方面考查学生提取和应用信息解决化学问题的能力，非常好地体现了《普通高中化学课程标准(2017年版)》和《普通高等学校招生全国统一考试大纲》的要求。但由于晶体化合物空间结构多种多样，密堆积方式较为复杂，对学生的空间想象力、知识迁移能力要求较高，导致在有限的时间内正确书写给定晶胞中原子的分数坐标成为考试的一个难点。针对这一现状，笔者就如何书正确写给定晶胞中原子的分数坐标来谈谈自己的看法，以期为后续晶体结构的复习提供一种更为有效的途径。

一、认识分数坐标

图1 分数坐标示意图

二、书写分数坐标的方法

1.确定坐标原点，建立三维坐标系

由分数坐标的概念可知，“确定坐标原点，建立三维坐标系”是书写分数坐标的前提。那么，如何来确定坐标原点，建立三维坐标系呢？

原则上，晶胞上的任一顶点均可作为坐标原点来建立三维坐标系。但通常情况下，我们选择晶胞下底面左上角或左下角的顶点作为坐标原点，这两种情况z轴方向相同，但x轴、y轴的方向发生变化，会随着坐标原点的移动顺时针或逆时针旋转90°。如图2所示，当坐标原点从下底面的左上角顶点移动到下底面的左下角顶点时，z轴向左下方平移且方向不变，x轴、y轴向左下方平移后要逆时针旋转90°；相反，当坐标原点从下底面的左下角顶点移动到下底面的左上角顶点时，z轴向左上方平移且方向不变，x、y向左上方平移后要顺时针旋转90°。

图2 坐标原点位置变化图

2.依据原子在晶胞中的位置，书写其分数坐标

由分数坐标的概念可知，除了建好三维坐标系外，原子在晶胞中的具体位置是书写分数坐标的依据。那么如何依据原子的具体位置来合理书写其分数坐标呢？

图3 晶胞结构示意图

当然，用同样的方法可以书写出任何给定晶胞中各原子的分数坐标。

三、探析经典试题

【解析】第一步：确定坐标原点，建立三维坐标系。本题明确给出了“以A为坐标原点的三维坐标系”，结合图4给出的三维坐标系，很快就能建立好Ge单质晶胞的三维坐标系如图5所示。

图5 Ge晶胞的三维坐标系

【评析】本题实际上是对教材中金刚石结构的迁移考查，但从实际答题情况来看，得分情况并不乐观，这就说明学生没有掌握好金刚石的结构，同时也提醒教师在复习时一定要引导学生对教材上的晶胞结构进行全方位的思考与理解，督促学生弄懂弄透教材上每一种常见晶体的结构。

【练习1】(1)试写出晶胞内部另外三个Ge原子的分数坐标。

(2)若将晶胞下底面左上角顶点作为坐标原点，试写出晶胞中所有原子的分数坐标。

图6 Ge晶胞的三维坐标系

【例2】(2019·全国卷Ⅱ·35节选)(4)一种四方结构的超导化合物的晶胞如图7所示,晶胞中Sm和As原子的投影位置如图8所示。

图7

图8

【解析】第一步：确定坐标原点，建立三维坐标系。本题并未给出坐标原点，这就要求我们先根据题干给出的信息确定坐标原点，由图7中的三维坐标系模型和图8中的平面坐标系模型，我们不难看出坐标原点应该为晶胞下底面左上角顶点，这样很快就能建立好三维坐标系如图9所示。

图9 三维坐标系

【评析】本题实际上是对晶胞结构分析能力的考查，但从实际答题情况来看，学生错得最多的就是未理解题干中的图示信息，自己确定了新的坐标原点，建立了新的坐标系框架，这就提醒教师在复习时一定要培养和训练学生的空间想象能力、迁移应用数学知识解决化学问题的能力。