积累数学基本活动经验的教学实践——以“抛物线及其标准方程”教学设计为例

沈秀兰

（韶关市第五中学，广东 韶关 512026）

《普通高中数学课程标准（2017年版）》（简称新课标）提出：通过高中数学课程的学习，学生能获得进一步学习以及未来发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验（简称“四基”）.那么，基本活动经验作为“四基”之一，其内涵和意义是什么？如何进行教学设计帮助学生积累数学基本活动经验，进而有效提升学生的数学核心素养？教学实践后有什么收获？本文以“抛物线及其标准方程”教学设计为例，探索如何通过恰当地创设教学活动，引导学生积累数学基本活动经验，培养学生数学学科的思维方式，提升学生数学核心素养.

1 课程教学分析

1.1 教材内容分析

教材按照椭圆、双曲线、抛物线的顺序，对每种曲线分别按定义、方程、几何性质进行讨论.本节是在学习了椭圆、双曲线的定义、方程及几何性质基础上，利用离心率e不同的取值范围展开的，同时它又是继续学习抛物线几何性质的基础.因此本节内容起到一个巩固旧知，熟练方法，拓展新知的承上启下的作用，是发展学生自主学习能力，提升学生数学核心素养的好素材.

1.2 学生学情分析

本节课的授课对象是高二级的学生，他们有一定的空间想象力、抽象概括的能力和推理运算的技能，但自主探究意识比较欠缺.在本节课之前，学生已经学习了椭圆、双曲线，对圆锥曲线的研究过程与方法有了一定的了解和认知，这对于抛物线及其标准方程的学习有借鉴、迁移作用.

1.3 教学目标设置

通过对课本47页例6和59页例5这两道例题进行类比，归纳这两道例题的异同点，抽象概括出抛物线的定义，发展学生的数学抽象素养；通过几何画板演示抛物线的定义以及拋物线标准方程中p的几何意义，提高学生的直观想象素养；掌握拋物线的标准方程的推导过程，使学生进一步理解和掌握坐标法的基本思想方法，提升学生的数学运算和逻辑推理素养；通过例题与变式的应用，使学生初步感受抛物线及其标准方程的运用，提升学生的数学运算和数据分析核心素养，借助课后思考题作业，深化基本活动经验，发展学生自主探究和创新意识；营造亲切、和谐的课堂氛围，以“趣”激学.通过椭圆、双曲线、抛物线定义的统一性体现教学的统一美，通过抛物线的标准方程的推导体现教学的简洁美.体会成功带来的喜悦.重点：拋物线的定义及其标准方程.难点：拋物线定义的生成及其标准方程的推导过程.

2 教学过程

2.1 复习类比，引入探究

活动1 类比课本例题，探究3种圆锥曲线图形与离心率的值（数与形）的关系.

（1）（课本 47页例 6）点 M（x，y）与定点 F2（4，0）的距离，和它到定直线的距离d的比是常数求M的轨迹.

（2）（课本 59页例 5）点 M（x，y）与定点 F2（5，0）的距离，和它到定直线的距离d的比是常数，求M的轨迹.

图1

探究问题1 从活动1的两个例题，你能发现是什么条件起关键作用，使所得的轨迹是两种不同的曲线？

教师活动 教师展示两个已学例题及图形，引导学生进行类比，提出探究问题1.

学生活动 学生动手推导课本两道例题所得轨迹方程，思考老师提出的探究问题1.

设计意图 课本47页例6与59页例5这两道例题的题干一致，通过引导学生对题目里的数值进行分析，得出平面内到定点的距离与到定直线的距离的比值在不同范围表示不同的圆锥曲线，这个比值即为离心率.通过类比这两道例题，引发学生思考和交流，积累获得数学信息，整理和分析圆锥曲线的数与形的活动经验，培养学生用数学的眼光类比观察，发展学生提出问题的能力.探究问题2 对活动1的两个例题中的条件进行比较，通过合情推理，你能按照上述提出什么命题？教师巡视后发现以下3个比较有研究价值的命题，请学生代表书写在黑板上并写出求解过程（如果学生中没有人提出命题3，则由老师与学生一起提出这个命题）.

图2

命题1点M（x，y）与定点F2（5，0）的距离，和它到定直线的距离d的比是常数e＜0，求M的轨迹.

略解：由距离的几何意义可知两个距离的比值为非负数，所以M的轨迹不存在.

命题2点M（x，y）与定点F2（5，0）的距离，和它到定直线的距离d的比是常数e=1，求M的轨迹.

命题3点M（x，y）与定点F2（5，0）的距离，和它到定直线l∶x=-5的距离d的比是常数e=1，求M的轨迹.

教师：哪个命题更具有研究的价值呢？

教师引导观察并注意到：命题1由于常数e是两个距离的比值，故当e＜0时，M的轨迹不存在；命题2与命题3都是在e=1情况下，推导出M的轨迹方程，因此我们有必要去研究当e=1时得到的轨迹会是什么.

教师活动 点评，筛选，点拨，引导.

学生活动 在老师的点拨下，深入研究相关命题，引出新的命题.

设计意图 学生进行数学猜想、数学表达、推导演算的过程中，充分发挥学生的能动性，体现学生的主体地位，积累运用比较、合情推理、类分等数学方法探究问题的数学活动经验，提高学生严谨的逻辑推理能力，发展学生的数学运算与逻辑推理核心素养.

2.2 演示猜想，抽象概括

活动2 多媒体演示，引导学生概括抛物线的概念，如图3所示.

图3 抛物线的概念演示

通过几何画板演示，当0＜e＜1所得的轨迹是椭圆，当e＞1所得的轨迹是双曲线，当e=1即平面内到一个定点F和到一条定直线l的距离相等所得的轨迹是抛物线，从而得到抛物线的定义：平面内到一个定点F和到一条定直线l的距离相等的点M的轨迹叫做拋物线.其中，定点F叫做拋物线的焦点，定直线l叫做拋物线的准线.

教师活动 教师利用几何画板演示当e=1时抛物线的形成过程.引导学生观察追踪动点M形成的轨迹形状，体会图形的对称性.

学生活动 观察动点M到焦点F的距离∣MF∣与动点M到定直线l的距离∣MH∣之间的关系，探索时动点M的轨迹为抛物线，进而概括出抛物线的定义.

设计意图 重视运用信息技术化课堂教学.通过几何画板的演示，离心率e在不同范围内对应不同的曲线，得出3种圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）图形与离心率的本质关系，并在演示当e=1抛物线的形成过程中，为学生理解抛物线的概念、探索∣MF∣=∣MH∣时动点M运动轨迹提供直观画面，培养学生数学结合思想，体现信息技术在学习数学中的应用价值.概念的形成过程是学生从获取感性的认识逐步上升到理性认识的过程，通过抽象和概括，提炼出数学结论，培养学生抽象概括、直观想象和逻辑推理等数学核心素养.

2.3 自主探究，合作交流

活动3 小组合作交流，自主探究抛物线方程的推导过程及其特点.

探究问题3 过F作准线的垂线，垂足为K，设∣FK∣=p，如何建立直角坐标系更恰当？

4人学习小组分组讨论，学生思考，独立建立直角坐标系，教师巡视，从学生中归纳出以下3种解法，如图4所示.

图4 学生归纳的3种直角坐标系

教师：哪个才是最恰当的建系方案呢？为什么？

方案3所得的方程更美（与之前的命题3所求的M的轨迹方程相对应），所得方程即为抛物线的标准方程.

把y2=2px叫做抛物线的标准方程，其中p是焦点到准线的距离.它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，坐标是它的准线方程是

注意：标准的抛物线是顶点在原点，图象关于坐标轴对称.

探究问题4 抛物线的标准方程有哪些不同的形式？他们之间相同点与不同点分别是什么？

学生自主填空，完成抛物线的标准方程4种形式的表格，回答以下问题：

问题1 抛物线标准方程的4种形式有什么相同点与不同点？

问题2 抛物线标准方程的4种形式，各项系数有什么特点？

问题3 4种抛物线的图形有什么特点？

问题4 从抛物线的标准方程如何看出焦点所在的位置及抛物线的开口方向？

问题5 已知抛物线的标准方程如何写出焦点坐标和准线方程？

问题6 已知抛物线的焦点坐标或准线方程如何写出标准方程？

教师活动 组织、导航、问题链提问、规范与点拨，使讨论深入展开.

学生活动 4人小组为单位，先讨论建立直角坐标系的方案得出抛物线的标准方程后，再参与抛物线“数与形”的分类特征，举一反三，完成抛物线标准方程不同形式的表格填写，并进行观察与思辨，通过回答问题串归纳总结出抛物线标准方程4种形式的异同点.

设计意图 分组合作活动的创设，使学生体验自己或与他人合作得出结论的创造过程.通过图形的对称性，采用数形结合思想方法归纳出其他3种位置的标准方程，积累发散数学思维的活动经验，引导学生透过现象看本质.学生的数学抽象思维，直观想象等核心素养得到提升，也为分析例题和解决实际应用问题奠定理论基础，并从中体会数学符号的简洁、整齐之美.体会数学图形自身或图形与图形之间的对称之美，是本节课亮点所在.

2.4 典例分析，巩固提高

活动4 通过例题强化训练，对知识点加以巩固提高.

例 下面方程式表示的是抛物线吗？如果是，请写出焦点坐标和准线方程.

（1）y2=20y； （2）y=2x2； （3）2y2+5x=0； （4）x2-8y=0.

变式1 根据下面的条件写出抛物线的标准方程：（1）焦点坐标是F（0，-2）；（2）准线方程是

归纳：1、先由焦点坐标或准线方程确定抛物线的开口方向；2、抛物线标准方程一次项的系数是焦点坐标或准线方程的已知量的4倍.

变式2 已知抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，并经过点P（-6，-3），求它的标准方程.归纳：因为P（-6，-3）在第三象限，需对抛物线的开口方向进行分类讨论.

教师活动 例题先由师生共同讨论，再由学生练习后，检查练习过程，投影解答过程.

学生活动 思考，练习，表达，解题.

设计意图 例题的设置是对抛物线及其标准方程的理解，变式1对抛物线标准方程应用的巩固与提高，变式2渗透分类讨论的思想，重在分类讨论思路的探究，通过分析分类的过程中如何认识对象的性质，如何区分不同对象的不同性质，使学生逐步体会为什么要分类、如何分类、如何确定分类的标准，强化分类讨论等基本思想.本活动问题的设置由易到难，符合学生的认知规律，在此活动过程中，学生思维层层递进，不断升华，发展学生的逻辑推理与数学运算素养.

2.5 布置作业，拓展延伸

活动5 布置分层作业.

1、必做题：（1）P59 练习1、2、3（课本）； （2）P64 习题 2.3 A 组 2、4 （作业本）.

2、选做题（课后思考）如图5所示，在玩游戏“疯狂的小鸟”时，测得小鸟投掷的轨迹是抛物线，抛物线最高点离底面的距离为4 m，猪窝高为3 m，猪窝顶的中心离最高点的水平距离为2 m，怎样建坐标系求投中时抛物线的方程更简便，此时抛物线的方程是什么？

图5 疯狂的小鸟的投掷的轨迹

设计意图 课后思考是课堂活动的延伸，是为学有余力的学生提供更大的思维发展空间，体现分层教学.通过采用分层作业，丰富作业形式，提高作业质量，提升学生完成作业的自主性、有效性.选做题把课内的知识延伸到课外，加深学生的数学应用意识，让学生体会数学来自生活，又应用于生活，服务于生活.在求几何轨迹方程的过程中积累实践性、思维性活动经验，培养学生探究问题的良好习惯和创新意识，提高学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力.

3 课后反思

3.1 数学思想方法引领探究活动

数学思想方法的感悟是在学生数学活动中积累的.在这节课的教学过程中，充分体现以学生为主体，以学生的数学活动经验为载体，架构学生思维活动的空间，引导学生经历自主探究的过程.整个教学过程注意渗透数学思想方法，包括“分类讨论”“数形结合”“转化与化归”等数学思想方法，帮助学生形成数学基本活动经验，使学生自觉地将数学知识转化为数学能力，提高数学核心素养，最终形成创造能力.

3.2 问题串调动学生数学学科思维

新课标倡导教师要运用适当的问题串帮助学生探究新知，突破学习障碍.本节课问题串中探究性问题的设置，给学生搭设理解问题的桥梁，调动学生的数学思维，开展数学思维活动，体现问题的驱动性、启发性、适应性和关联性.在这个过程中培养学生数学学科的思维方式，积累提出问题、分析问题、解决问题的基本活动经验，有利于提高学生提出问题、分析问题、解决问题的能力，提升学生数学核心素养.

3.3 多种教学方式助力学生积累基本活动经验

联合国教科文组织在《学会生存》中强调：教育的价值就在于帮助人以一切可能的方式实现自己的潜能.在以学生发展为本，立德树人、提升素养的理念指导下，本节课设计了类比、多媒体辅助教学、分组合作、分层、美育等具有主体性、实践性、可发展性和多样性的特色教学活动，使学生体验类比、合情推理、抽象概括、自主探究、合作探究等学习方法，积累数学基本活动经验，培养学生的问题意识、探索意识与批判精神，有益于学生良好品质与学科核心素养的养成.这样的课堂充满智慧，鲜活灵动.

数学基本活动经验的积累是一个长期的过程，因此应当把数学活动经验积累看作是一个长远的目标，在接下来的数学课堂教学中应精心设计，采用丰富多样的教学活动方式，组织学生参与数学问题的探究过程，调动数学学科思维，逐步积累数学活动经验，使经验成为基础知识、基本技能和基本思想的粘合剂，进而有效提升学生的数学核心素养.