数学建模竞赛创新分析体系构建及实践探索

常志强 吕俊杰 张 博 赵文媛＊

（哈尔滨医科大学，黑龙江 哈尔滨 150081）

【关键字】数学建模；问题分析；数学模型；学科竞赛

0 引言

数学建摸是提升大学生创新、实践等综合素质能力的重要学科竞赛[1]，也是培养学生创新创业能力的重要平台[2]。随着比赛的开展，数学模型研究方法日趋完善，论文写作日趋规范。尽管如此，当前学生在分析问题这一方面仍存在不足，包括参赛学生对问题认识不清[5]，对各问题间的关系捉摸不透等。当前相关参考文献在引导大学生分析问题这一重要环节却相对忽略，这恰恰是每个大学生要掌握的重要技能，这也是数学建模竞赛设立的初衷。

数学建模有方法，创新有方法，那么数学建模竞赛是否有方法呢？ 创新是一个从无到有，从有到精的一个递进过程。 基于创新的思想，为了能够解释出数学建模竞赛中问题之间的关系以及如何分析问题，本文通过对历年真题进行整理，分析和比较，最终总结出一个具有创新意义的问题分析流程（图1）。 经过实践，该流程对几乎所有历年赛题有效，只要按照这个分析流程分析和解决问题，基本上能达到赛题要求。

1 数学建模竞赛问题分析体系

本文从问题出发， 针对问题及问题要求间关系、问题参数间关系、问题模型间关系和问题解与出题人想法间关系这4 个关系对数学建模问题的分析进行详细的解读。

1.1 问题及问题要求间关联

图1 数学建模竞赛分析体系

数学建模竞赛主要考察对象是大学生，而大学生正处于分析问题和解决问题的初步阶段，他们分析和实践能力相对不足。 建模竞赛的出题过程也是一个逐步递进、启发大学生思考的过程。 数学建模一般会以3～4 个问题的形式逐步展开。在此，本文以含4 个问题的赛题为例，问题1 到问题2 是一个递进关系，同样，问题2 到问题3，问题3 到问题4 也都是递进关系。

所述的递进关系主义含义为， 前者是后者的基础，而后者是在前者基础上提出的。在递进关系中，问题1，问题2，问题3，问题4 都是递进关系，也就是起源是1，终点是4，只要满足问题4，那么整个建模问题就都会解决。 从这个意义上讲，该赛题虽然有4 个题目，但实际上是一个问题，那就是“题目”。那如何应用该关联呢？ 从辩证角度讲，可分别从问题1 入手后正向推演，或者从问题4 入手后逆向推演。

1.2 参数间关联

由于问题间的递进关系，后面的问题往往是在前面问题基础上生成的，因此需要的参数也是一种递进关系。 后面问题的参数往往又包含了前面问题的参数，这是一种包含关系。 如果后面的问题没有前面问题的参数，这说明两者间的递进关系不满足，这样的模型基本是不符合实际情况的，需要重新进行校订和修改。 同样，前面问题中的参数要为后面的问题进行铺垫，这也决定了前面问题的参数对后面问题有应用价值，否则前面问题就没有出现的意义，这是由于问题整体性决定的。

1.3 模型间关联

由于问题和参数的递进关系，针对每个问题建立的模型也必然是一种递进关系，这种递进关系包含了参数的递进和要解决问题的递进，我们把这种关系叫做基础；反过来，后一个问题的模型往往能够解决前一个问题。 这个逻辑思维在建模过程中是至关重要的。如果前一模型对于下一问题模型没有任何作用或者说不是后一个问题的基础，那么参赛者对于问题的理解是有所偏颇的或者是不正确的。如果后一个问题不能解决前一个问题，只有两种情况，一种是上一问题理解错了；另一种是当前问题理解错了。

根据上述结论，建立模型时，要先从全局角度进行分析。 问题1 是问题2 的基础，问题2 是问题3 的基础，问题3 是问题4 的基础，从这个逻辑看，只要完成了问题4，前面所有问题也就都解决了。 因此，建模时要先从全局角度进行建模分析，从最后一问分析入手，先确定所要建立模型的整体结构，然后逐步确定第3 问的问题模型，第2 问的问题模型和第1 问的问题模型。

问题模型间的关联无论从建立模型还是评价模型都有较实际的应用价值，对理解问题也有重要的参考意义和实际的指导价值。 通过在近3 年的教学实践，学生们对这个观点也表示认同，并认为对建模实践非常有可操作性。

1.4 问题解及出题人想法间关联

在建模实践中，模型的解不一定是问题的解。 模型中给出一种计算方法，或是给出一个参数值，求得一组数值解。但是出题人的想法可能要从多个角度进行分析， 也就是需要带入多组数据进行计算和比较，而这往往是模型本身不能直接反映出来的。 因此，在模型求解时，一定要以问题要求和出题人的想法为出发点进行分析。 以计算平面折叠桌桌尾曲线题为例，其不仅要给出不同角度的曲线方程，还要根据不同角度将图形绘制出来。

在实际建模过程中， 出题人的想法至关重要，他往往超越了模型本身， 题目中蕴含了出题人的想法，这恰恰是建模的核心之处。

1.5 例题讲解

以2016 年赛题A 题为例进行分析。 该问题为系泊系统的设计。

在问题简述方面，问题2 中“在问题1 的假设下”，这是递进关系； 问题2 中提及了锚点与海床的夹角和钢桶倾斜角，而问题1 没有涉及，这也是递进关系。 问题3 中水深是一个变量，这是在问题2 中定量的递进；水速和风速从定值变成变量，这也是递进关系。

问题要求中，问题1 到问题2，再到问题3，出题人从求解给定数值解到给定范围解，这都是递进关系的体现。

在参数方面，问题1 中的风速、海水密度、水深、重物球质量、锚链长度是常数，钢桶倾斜角度是常数；而在问题2 中，重物球质量变成变量，钢桶倾斜角度也成为变量，这也是递进关系。反过来，问题2 中的参数都包含了问题1 中的参数，是包含关系。

在模型方面， 问题1 的模型根据关系求解值即可；在值求解的过程中建立的函数关系对第二问有一定基础，但由于其增加了参数，因此他并不能解决第二问的问题，所以问题1 是问题2 的基础；反过来，问题2 的模型，将风速、倾斜角、质量等设为问题1 中的定值时，则能解决第1 问的问题，就是解决关系。 同样，相比第三问，第二问中水深、水速、风速是定值，它们仅能为第三问提供基础模型，但反过来，将第三问模型中参数值变成定值，就能解决第2 问的问题。 这就是解决关系。综合讲，该问题只需1 个模型，那就是第3 问的模型。 只要第3 问模型构建完毕，所有问题都会得到解决。

在出题人想法方面，本题希望大学生给出系泊系统中所有参数间关系， 并给出特定情况下的具体值。因此，必须有有针对性的进行讨论。

2 评价与讨论

2.1 历年真题赛题实际情况评价

全国大学生数学建模竞赛从1992 年开始， 至今已有25 套赛题， 通过对所有本科组赛题利用本文的建模竞赛标准分析方法进行分析，结果显示除去只含一个问题的赛题，本分析方法适用于所有的赛题。 这充分表明本方法在分析建模赛题和审查赛题问题上是十分有效的。

此外，本方法不仅可以用来进行问题分析，同样也可以作为论文评价的参考标准。 如果问题、参数间没有递进关系，说明论文分析的有问题；如果不同问题间的模型没有关联， 那么论文也是偏离出题人思想，其结果很难令人信服。 若后面问题的模型不能解决前面问题， 这一般是模型间的联系不紧密造成的，从全局看，这样的论文也是有所偏颇的。

2.2 讨论

本团队研究得出的数学建模标准分析方法在一定程度上对于把握赛题内容和方向是十分有效的，对论文撰写也有一定的指导意义。这个研究成果在一定程度上补充了当前数学建模竞赛教育新的内容，也为建模竞赛培训工作指明了培训方向，相信经过本研究成果的推广，更多的学生能更快捷方便的进入到数学建模的逻辑思维中来，参赛水平也会有较高质量的提升。此外，问题分析的过程是一个十分复杂的过程，不同的问题要分析出不同的模型，这在本论文的标准方法中没有体现 ，今后将继续开展针对性研究，将数学建模方法更完善，更系统。

3 结语

本文在实践中摸索出具有创新性数学建模竞赛分析体系，该体系在教学实践和学生竞赛实践中均表现出较强的实践价值和实战作用。该体系对当前数学建模竞赛有重要指导意义，对其他学科竞赛的创新实践也具有一定的参考价值。