2020年高考山东卷压轴题的解法探究及推广

文台山市教师发展中心 陈勇攀

一、考题再现

本题以椭圆为背景在考查椭圆的性质的基础上探究一类定点、定值问题.考查数学运算、逻辑推理等数学核心素养.第(2)问考生可以通过特殊位置探路、观察、分析，直观感知定点Q的位置获得解题思路，考查考生综合运用数学知识和方法分析问题、解决问题的能力以及创新能力.

二、解法探究

两边同时除以(x-2)2，并化简得

由韦达定理，得

此时点D是定点，故存在定点Q，使得|DQ|为定值.

(其中m+2k-1≠0，否则直线MN经过点A).

把①式代入②式，得

三、问题推广

从上面的探究过程可知，本题的解题关键是在基本活动经验的启发下发现直线MN恒过定点.故考题可以推广为：

两边同时除以(x-x0)2，并化简得：

两边同时除以(x-x0)2，并化简得

进一步探究可以发现双曲线和抛物线中也有类似的结论，有兴趣的读者不妨试试.