空心电抗器绕组磁场及电感数值分析

肖旭亮，朱晓东，刘志强，吕建国

（中国能源建设集团山西省电力勘测设计院有限公司，太原 030001）

0 前言

空心电抗器作为电力系统基础部件，广泛应用于电力系统输配电。空心电抗器在使用过程中起稳压、限流和无功补偿等作用，其容量从1到40 000 kvar，电压等级范围3到220 kV。并联空心电抗器用于长距离输电线路的容性无功补偿，限制系统电压升高或者操作过电压，使系统电压稳定运行，一般并联连接在500 kV、200 kV或110 kV变电站低压组侧；串联电抗器与高压并联电容器组相串联，起到抑制电网电压波形畸变，控制电容器的谐波分量以及限制电容器组合闸涌流。

电抗器运行时周围会产生一定的磁场，该磁场的分布会对周边设备温升及工作人员产生影响，文献[1]导则中规定：存在工频电磁场的设备周围，要求工作人员巡视处电场强度小于10 kV/m，公众暴露最小值5 kV/m；工作人员巡视路线磁感应强度B小于500 μT，公众暴露最小值限100 μT。因此准确分析空心电抗器的漏磁场具有重要的工程意义。

电抗器的磁场分析有数学解析法及数值法[2-8]，有限元以及实验测试[9]。空心电抗器因其自身的特点，不包含铁心，磁场解析计算可以作为空心电抗器设计计算的基础。有限元法速度快，建模简单，但在开域问题中，要求把边值为零的外界定在足够远处，致使计算场域变大，对于电抗器三维仿真[10-12]，所需内存很大，且边界条件较难模拟实际边界，三维有限元计算结果有一定的误差。

因此为了工程使用方便，本文利用比奥萨伐定律推导载流线圆环的数学解析方程，用数值法计算了空心电抗器绕组内外磁场的分布，以及绕组电感的数值分析；并采用二维柱坐标有限元建立了空心电抗器模型，求解出了单相空心电抗器绕组的磁场及电感，两种方法结果完全一致。

1 磁场数值分析计算

电抗器的主要部分是载流绕组，可以等效为多层线电流。载流线圆环在空间任意点产生的磁感应强度，可以根据物理学的比奥萨伐尔定律求得[2]。图1所示为载流线圆环以及考虑长度和宽度的绕组电流在空间任意一点数值解析的结构参数示意图，图中o点为xyz坐标原点，载流线圆环位于xoy平面，Q点为空间任意点，Q‘点是Q点在xoy平面的投影，α+π/2是Q点投影向量与x轴的夹角，β为线微元与x轴的夹角。线微元ldl在空间Q点产生的磁感应强度可以由比奥萨伐尔定律求出。

图1 载流线环磁场分析示意图

其中载流线微元在任意Q点产生的磁场：

B磁密，μ0空气磁导率，I绕组电流，l线圈弧长，r为长度矢量，h线圈高度，d原点到投影点的距离。根据以上(1)，(2)，(3)式，文献[2-4]推导了载流线圆环在xyz坐标系任意点的磁场强度表达式。空心电抗器线圈由一定宽度和高度的多个线圈组成，由于空心电抗器不存在铁芯，且紧密排列，可近似成多层电流布置；且其磁路为开域磁路，因此根据载流圆环的解析解，可以数值分析电抗器绕组的磁感应强度公式。推导数值公式的具体参数如图1所示，考虑绕组径向宽度为（R2-R1），轴向高度为h的空心电抗器在空间任意一点Q产生的xyz方向磁通密度表达式分别如下：

在空间任意点的合成磁通密度为：

图2 单相电抗器的外部磁密

以 轴 向 高 度2.47 m， 额 定 电 压Un=36373.0 V，基波电流In=549.86 A实际空心电抗器为例，代入以上数值解法的公式，采用Matlab数学软件实现，得出空心绕组外部和内部磁密波形，如图2和3所示。

图2(a,b)所示为二维磁场电抗器绕组半径从1.5 m变化到9 m时，不同轴向高度的外部磁场分布图，在半径为1.5米时，电抗器轴向中心位置处的磁密为17 uT，磁密最大值在绕组的上下边界处，值为26 uT。

图3 电抗器绕组内部磁密分布

图3所示为电抗器绕组内部半径为R=0，沿轴向方向的磁场强度分布图。从图中看出在绕组轴向中心的位置B最大，其值为115 uT。

2 电感数值计算分析

空心电抗器的电感值参数作为电抗器的基本参数，准确计算非常必要。电感的物理定义为穿过绕组的磁链与对应电流的比值。对于如图4所示的绕组磁力线分布，求解磁链时只需要考虑磁感应强度的z轴分量Bz，Bx和By分量不需要考虑，图中不同的曲线代表磁感应强度的不同合成矢量方向。从图4可以看出，由于每一层绕组所对应的磁通密度Bz不同，绕组磁链不能简单地按照均匀分布的磁场求解磁链（N*φ均匀磁场每层匝链的磁链）。

图4 单相电抗器磁密分布

因此，根据绕组的实际匝数把模型分成N层，单独求解每一层绕组的磁链。采用数值解法计算磁链时，每一匝绕组单位元扇形面积电流产生的磁链计算公式为：

其中dr，dθ分别为线圈半径和圆周角的计算步长。一层绕组产生的磁链计算公式：

根据以上公式可以得到空心电抗器的电感：

以实际空心电抗器线圈为例，轴向高度2.47 m，绕组内外半径分别为1.103 m和1.113 m，匝数为466，并联支路数4，计算电感的301.3 mH。

3 有限元分析

有限元法计算单相电抗器，由于三维仿真开域磁场和无穷大边界问题，准确计算三维有限元模型需要设置模型本身10倍左右以上求解域，使得计算量和内存需求很大[3]，普通计算机没办法准确计算三维电抗器绕组的电磁参数。采用二维柱坐标仿真模型分析单相电抗器，可以把求解域设置到比较大，误差在工程计算有效范围内。

利用有限元方法对空心电抗器进行分析求解时，磁场分布如图5所示，磁力线在有限区域内闭合，少部分漏磁不能闭合。

图5 电抗器绕组磁力线分布图

图6所示为有限元分磁通密度云图，从图中看出中心磁密最大，黄色区域，115 ～120 uT，其分布与数值计算结果吻合。

图6 电抗器绕组磁密分布图

图7 电抗器绕组内部和外部磁密曲线

4 结束语

针对空心电抗器三维有限元分析，需要建立比较大的求解域，导致计算机的计算量非常大，为简便计算，采用数学数值分析方法计算了空心电抗器在空间任意点的磁通密度，根据电感的物理定义编写了空心电抗器的电感计算程序，用实际算例计算了空心电抗器的磁场分布及电感值，并用有限元分析了空心电抗器的磁场和电感，两者计算结果完全一致，对空心电抗器的三维场分析具有工程参考价值。