数学思想方法在二次根式中的运用

钟小艳

（珠海市三灶中学 广东珠海 519040）

数学思想方法是对数学知识形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略。熟练掌握数学思想对于提高分析与解决问题的能力具有重要作用，不仅能使同学们“学会”数学，而且更重要的是促使大家“会学”数学。一堂数学课是否真正精彩，很大程度上取决于教师对相关数学知识中数学思想方法的挖掘、渗透和生成过程。《二次根式》一章所涉及的数学思想方法较多，现例述如下：

一、符号化思想的运用

二、交集思想的运用

交集思想是指从问题所涉及的双方或多方事物之间探求共同点，使问题在某个确定范围内得以解决的一种数学思想。在考查二次根式的双重非负性时，利用交集思想可以巧妙地解决问题。

三、特殊与一般化思想的运用

特殊化的思想方法是在研究一个较大集合性质时，先研究某些个体或某些较小的集合作为过渡，从中发现每个个体都具有的特性后，再回过头来归纳、猜测一般集合的性质，最后用严格的逻辑推理的方法论证猜测的正确性。事物的一般性存在于事物的特殊性中，因此可以从特殊性去探索一般性。另一方面，事物的一般性又包含着事物的特殊性，因此从事物的一般性中又可以认识事物的特殊性，这样的认识和思考问题的方法称为一般化思想方法。特殊化思想方法与一般化思想方法是矛盾的两个方面，它们互相对立又互相统一，同时它们也是反映与认识事物的两个重要方法，这两种思想方法，有时可以单独使用，有时又必须结合起来使用[1]。在数学的学习和研究中都有着非常重要的作用。归纳二次根式的性质与乘除法则时用的是特殊到一般的思想方法，而它们的应用则是一般到特殊的思想运用。

四、分类讨论思想的运用

五、数形结合思想的运用

“数以形而直观，行以数而入微”，这是我国数学家华罗庚对数形结合思想的精辟论述。数形结合思想是指通过数形间的对应与互助来研究问题并解决问题的思想。运用数形结合思想解题，能够使学生认识问题的本质，加深对数学知识的理解，提高学生的解题能力。下面举一例说明它在二次根式中的运用：

于是问题转化为：在x轴上求一点C，使它到两点A(-1,1)和B(2,3)的距离和CA+CB最小，利用轴对称性可求出C点坐标。这样，通过构造几何图形而使问题易获解。

六、转化思想的运用

转化思想是指在研究和解决有关数学问题时，通过某种方式与手段将复杂的问题转化为简单的问题，将难解的问题转化为易于求解的问题，将未知的问题转化为已知的问题。在此仅举一例说明转化思想在二次根式中的运用：

七、方程思想的运用

所谓方程思想是指对所要求解的数学问题，利用已知量和未知量之间的数量关系构建方程（组），通过解方程（组）使问题获解的解题思路和策略[2]。方程思想是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础，它的应用十分广泛。

分析：根据同类二次根式的定义，得方程1+a=4-2a，解得a=1，故选C。

八、整体思想的运用

整体思想是指把所考察的对象作为一个整体来对待，而且这个整体是各要素按一定的规律组成的有机统一体。对一些有关二次根式的代数式求值问题，我们不能孤立地看待已知与已知、已知与未知，而应从整体的角度去分析已知与已知、已知与未知的关系，然后采取相应措施。如做一些必要的运算变形，恒等变形等。

分析：若将 的值直接代入计算比较麻烦。如果将已知条件进行适当变形，用整体代入求值较为简便。

评注：二次根式的运算比较复杂，通过变形两边平方化去根号再代入求值较简单。

九、类比思想的运用

类比思想是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想。类比思想不仅使数学知识容易理解，而且使知识的记忆变得顺水推舟、自然和简洁。如二次根式的运算中，类比整式的运算、幂的运算来学习。下面仅举一例：

分析：二次根式加减时，先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。

评注：合并时，可以类比整式加减运算中合并同类项。

十、换元思想的运用

换元思想是指引进新的变量代换原题中的一些量，将数学问题化繁为简、化难为易，从而达到化未知为已知而达到所求目标的一种思维倾向。掌握并运用换元思想，有利于培养思维的灵活性和创新性。解复杂的根号里含有未知数的方程常用换元思想。

分析：引导学生观察，此方程是根号里含有未知数的方程，需想办法化去根号，可以先变形，再两边平方化为整式方程求解，也可引入换元思想化去根号。

十一、对称思想的运用

对称思想是指保持一数学事物结构不变的一种变换。有图形的对称、式子的对称和解题方法的对称等，在实践和理论上都有重要意义。运用对称思想方法，可以让学生感受对称美，增强求知欲，更主要的是能简捷地解决某些问题，从而提高学生的直觉思维能力和形象思维能力，开拓解题新思路。由于二次根式的结构特点，运用对称思想能简捷地解决二次根式的代数式求值问题。

评注：此题还蕴含了化整为零、积零为整思想，先求各个部分，再解决整个问题。

综合上述，数学思想方法是数学的灵魂，是解决问题的金钥匙。只有理解掌握、并运用数学思想方法，才能对今后的学习、生活和工作，长期起作用，终身受益。