高中数学轨迹方程的问题解析

李 涌

（四川省绵阳中学 四川绵阳 621000）

求平面上动点的轨迹方程是教学大纲中要求掌握的内容，也是高考中的考查内容。轨迹就是即点的集合，方程是实数对的集合。在特定条件下求动点轨迹的方程，其实就是运用已知点的坐标间特性寻求变量间关系。所以，在对轨迹方程进行解题时，就要全面运用题目中给出的几何条件，基于“解析化”把其变成代数式。因为动点运动规律提供的条件存在很大的差异，所以，求动点轨迹方程的方法自然也存在差异，教师要教授学生常用的解题方法，帮助学生掌握和运用，提升学生的解题效率和准确性。

一、直接法

若是动点满足的几何条件自身属于一些几何量的等量关系或者是这些几何条件简单清楚和容易表达，那么就可以选用直接法，直降将关系翻译为x，y的等式，这样就能够得出曲线的轨迹方程。使用这种方法对轨迹方程进行求解，过程简单，不用其他的步骤，也不用特殊技巧[1]。

在对曲线轨迹方程进行求解时，学生要按照步骤进行：首先，构建相应的平面直角坐标系，设轨迹上任意一点坐标M（x，y）；其次，找到动点和已知点符合的关系式；再次，将动点和已知点坐标带入到关系式中；第四，对方程实施简化整理；第五，证明求得的方程是所求曲线的轨迹方程。一般若是求轨迹方程，那么就可以省略第二步和第五步。

二、参数法

有时候在求动点时，需要满足的几何条件不容易得出，也没有显著的有关点，然而却能够发现该动点的运动常受到另一个变量的限制，如，截距、角度、比值、时间、斜率，也就是动点坐标（x，y）中的x和y分别会跟随另一变量变化而动态变化，这时就可以将该变量作为参数，结合其构建出相应的参数方程，这就是参数法。若是普通参数，就可以消除掉参数。在求解轨迹方程时，该方法就是一种常用方法，如果能合理的选择参数，就可以对问题进行简化，提升学生的解题效率。

使用该方法求解动点轨迹方程，学生也需要按照步骤进行：第一，构建坐标系，设动点p（x，y）；第二，结合轨迹条件，选择相应的参数；第三，明确动点坐标中的x，y和参数的关系式，也就是构建参数方程；第四，对参数进行消除得出普通方程；第五，讨论。在这些步骤中，明确参数是重点。选择合理的参数需要方便构建动点参数方程，还要容易消除参数。除此之外，动点跟随动直线绕某个点旋转的情况，参数选择就应确定为斜率k，这样解题较为便利[2]。

三、相关点法

在一些问题中，其动点符合的条件不方便使用等式列出，然而动点是随着另一动点，也就是相关点而运动，若是有关点符合的条件是能够分析或者是显著的，就可通过动点坐标系代表有关点坐标，结合有关点坐标符合的方程就能够求出动点的轨迹方程，该方法被称为坐标代换法或是相关点法。

四、定义法

如果动点轨迹条件符合某个基本轨迹定义，例如，双曲线、椭圆、圆和抛物线，那么就可以结合定义内容进行轨迹方程的求解。

五、变轨法

在对动点轨迹进行求解的过程中，有时会产生求两条动点曲线交点的轨迹问题，一般基于方程组可以得到交点坐标，之后再将参数进行消除，得到要求轨迹的方程，变轨法通常会和参数法一起运用。

曲线方程求解和轨迹求解的要求存在差异，如果要求轨迹，那么除了要求出方程之外，还需要讨论和阐述所求轨迹是什么样的图形、在何处、大小、位置。求轨迹需要先将轨迹方程求出，之后再阐述方程的轨迹图形，最后，将增多的点去除及补漏，要是轨迹情况不一样，就要分开讨论。

六、轨迹方程求解需要注意的问题

第一，对于动点符合的所有条件需要全面、多层次的进行分析，尤其要注意动点受到的隐含的限制条件，避免对点集范围进行缩小或者是扩大；第二，在简化方程时，需要注意同解变形，而不是同解变形的，就要对x，y存在范围进行判别和说明，保证轨迹不重复不遗漏；第三，针对实际问题，就需要结合具体问题对于动点轨迹的限制；最后，要对轨迹方程与轨迹概念进行区分。如果求动点轨迹，除了要写出动点轨迹方程，还需要阐述轨迹名称、位置特点和形状特征等。

七、结束语

综上所述，教师在高中数学教学中，要注重轨迹方程解决方法的教授，让学生灵活的运用几种解题法，如，直接法、变轨法、代换法、定义法等，让学生更好的学习和掌握轨迹方程问题，提升学生的数学成绩。