APOS 理论视角下的初中数学概念教学——以“黄金分割”为例

江苏省苏州工业园区金鸡湖学校 吴洁瑜

一、APOS 理论概述

APOS 理论最开始是美国著名数学教育家杜宾斯基提出的，他认为学生学习数学概念就是要建构心理结构。数学概念的学习不仅可以建立在具体存在的对象上，也可以建立在学生已有的认知基础和能力水平上，将新概念与旧知融合，从而建构更高层次的心理结构。这一建构的基本模型经历4 个阶段：A——Action（活动）、P——Process（过程）、O——Object（对象）、S——Schema（图式）。该理论认为学生在数学学习过程中若经过了前三个阶段，一般就能够在思考、建构的基础上形成综合心理图式，进而将问题顺利解决。

杜宾斯基还认为，活动、过程、对象也可看作是数学知识的三种状态，而图式则是由这三种知识构成的一种认知结构。虽然这四者具有先后顺序，但实际上学生对某一数学概念的理解并不只是线性的，还可以是循环的。

新课标一直倡导，学生是课堂活动的主体，而教师则是活动的组织者、引导者和合作者。学生学习应该是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。这和APOS 学习理论是一致的。在初中数学的概念教学中，也应该做到让学生在做中学，将抽象的概念内化到学生原有的认知结构中，而不是由教师将抽象概念灌输给学生。根据笔者近四年的初中数学实际教学经验，认为有必要将APOS 学习理论应用于初中数学的概念教学，现结合九年级下“黄金分割”一课谈谈APOS 理论在初中数学概念教学中的应用。

二、概念教学

1.概念的引入——活动（Action）阶段

这里的活动是指学生通过教师预先设置的问题进行外部刺激，一步一步地通过引导性指令去感受一个客观的数学对象。数学课堂教学其实是数学活动的教学，经历一系列的操作活动是学生数学认知的基础性行为。学生可以感受数学家探索实验发现的整个过程，通过动手实践来获得经验、概念。其实，数学活动的实验过程除了像生物、化学等学科中的观察实验以外，还需要合情推理、演绎推理、运算实验。没有行为操作和心理操作，数学概念也就没有了心脏，而教师则要扮演好课堂活动的组织者、引导者和合作者的身份。

2.概念的归纳——过程(Process)阶段

经过活动的不断重复，行为操作就可以内化为一种叫作“过程(process)”的心理操作，但活动不是数学教学的目的，一节课就40分钟，如果放任活动，教学效果也不会理想。因此就需要教师的引导者作用，引导学生对“活动”进行思考，经过思维的内化，从而归纳出特定概念所特有的性质。学生一旦经历了这一“过程”，就有了之前活动的经验和思维，不需要再通过外部指令的刺激也能获得概念。也就是说，学生有了活动阶段形成的经验和思维并可以自然地应用，甚至还能够将这些经验和思维重新排列和组合，形成新的经验思维。

例如，学生在第一环节归纳出了黄金分割点和黄金比的概念，而不必再进行具体的运算，并且能从单位1 延伸到n 的表达，也就是说，当已知点B 是线段AC 的黄金分割点（AB ＞BC），当AC=n，学生就能得到AB ≈0.618n，那么他就已经完成了这种“过程”模式的建构，接下来教师可以继续引导：“一条线段有几个黄金分割点？”在这一阶段，教师可以借助信息技术和多媒体手段辅助教学，这样能更好地展示概念的内涵和外延。

3.概念的巩固——对象(Object)阶段

当学生能把内化概念的“过程”进行新一轮的实践和转化的时候，这一“过程”就转化为学生心理内部的一种独立“对象”，也就是学生通过前面的活动了解到了概念的形成过程，并对概念给出了具体的定义、数学符号以及数学语言，使得概念更加具体和精致，并压缩为一个具体的对象。这个“对象”的过程也就是对数学概念的内涵和外延进行进一步加工，使学生更新和建构新的心理结构，建立更清晰的概念表象。概念进入“对象”阶段时，建构的结构关系也就相对稳定。

这一阶段，教师可以设计2～3 个生活中的实际问题，让学生在解决问题的过程中巩固概念，同时，教师注重剖析表达式中精炼的数学语言和符号所表示的含义，让学生在解决问题的过程中分析概念所适用的条件和范围。“对象”既是概括的结果，又是新的概括的起点。

例如，在“黄金分割”一课中，笔者在问题解决的过程中又提出了一个新的问题：如图5，下面的矩形中哪一个更好看？大部分同学都会选择③号矩形。此时再次引导学生探究：为什么这样的矩形更好看？这个矩形的宽和长的比有什么特点？学生会在前面建立的思维引导下，通过计算发现宽与长的比值就是黄金比。在这一过程中，笔者利用多媒体动态演示，将矩形的宽BC 绕着点B 顺时针旋转90°，使得BC 与长AB 共线，让学生更加直观地感受到点B 为线段AC 的黄金分割点，如图6。

这一环节建立在学生已有的“黄金分割点”和“黄金比”的概念基础上，又继续探索研究生成的“黄金矩形”的概念。再次活动探究，笔者又通过几何画板演示黄金曲线的生成过程，帮助学生内化黄金矩形与黄金曲线概念的生成以及概念与概念之间的内在联系。 在这个基础上，笔者引导学生对黄金分割点进行尺规作图，并让学生探讨此种做法的科学性（如图7）。通过新一轮的内化、压缩、解压如此循环之后，学生最终形成完整的黄金分割概念这一“对象”。

4.概念的模型生成——图式(Schema)阶段

数学概念的“图式”阶段是经历了“活动”“过程”“对象”包括已有的数学概念，和其他“图式”一起进行新的排列组合所形成的一种认知结构。那么经过上述三个阶段的上升学习过程，学生已经形成了关于黄金分割的概念，并且会更新和构建新的认知结构，它可用于解决与这个概念相关的问题。那么黄金分割在实际生活中有哪些运用？此时可以布置作业，让学生利用书籍和网络搜集有关黄金分割在建筑、音乐、美术、体育、生物等各个领域中运用的实例，再进行一次班级分享交流，使学生建立黄金分割与其他相关概念的综合图式。

APOS 理论认为概念的生成来源于学习者的反复操作和不断反思，从而形成静态结构，也就是对象阶段。初中阶段的数学概念基本都涉及操作（活动）、对象和过程，需要教师进行组织、引导和协调，帮助学生构建一个又一个连贯的概念框架，也就是APOS 理论中所说的综合图式，这种图式可以帮助学生在解决数学问题的时候灵活运用所需的数学思维，提高学生自主学习、动手实践、合作探索和解决问题的能力，同时也对教师的综合素养提出了更高的要求。