小学数学中“除法”“分数”与“比”的辨析与思考

朱立明，马云鹏

小学数学中“除法”“分数”与“比”的辨析与思考

朱立明1，马云鹏2

（1．唐山师范学院 教育学院，河北 唐山 063000；2．东北师范大学 教育学部，吉林 长春 130024）

在小学数学中，除法、分数和比是极容易混淆的概念，这3个概念之间既有联系，又具有自身的特性．能否理解3者的数学本质内涵及其关系是数学深度学习成败的关键，直接影响学生思维与认知的发展．除法是表示两个数之间的运算关系，当两个数不能整除时，结果是分数．分数的本质是一个数，是表示整体与等分的关系，是一个比率．比的本质是刻画两组数量之间的倍数关系，在比的运算过程中，可以借助除法来完成，比值可以用分数来表示．

除法；分数；比；深度学习

1 概念的理解——小学数学核心内容视角

从《义务教育数学课程标准（2011年版）》来看，“数与运算”的知识与技能是小学数学教育中学生必须掌握的．除法、分数与比是“数与代数”领域中的核心内容．“数与代数”领域在小学数学课程结构中所占比例是三分之二左右，是小学数学课程的重要内容，其中蕴含着多个数学核心内容，例如，数与数量、运算、式与方程等．小学数学核心内容即在小学数学的3个学习领域（数与代数、图形与几何、统计与概率）内，能够联结相应领域中不同学段的小学数学内容并为其提供持续性支持具有奠基作用的数学知识结构和数学思想方法．在解决“数与代数”领域中的问题时也会涉几何直观、推理能力、模型思想等[1]．下面，从数学学科核心素养的视角对除法、分数、比这3个概念进行释义．

1.1 除法是乘法的逆运算

从数学运算视角来看，除法与加法、减法、乘法一样，是代数思想的重要基础．从逻辑顺序视角来看，小学阶段的除法要包括整数除法、小数除法、分数除法，是加、减、乘3种运算的延续，也是实数体系后继学习的基础，是小学数学课程中非常重要的一部分．学生学习除法之前，首先要理解除法的意义．除法是以“平均分”为基础知识和本质属性的，“平均分”在学生除法概念的发展过程中起到了重要的作用，除法既可以用来描述将被除数平均分成相等的几份，也可以说明被除数是除数的几倍．在一定程度上，除法可以视为减法的简便运算，例如，把9个苹果平均分给3个人，对于没有学习除法的学生也可以根据减法来分，一个一个来分．除此之外，除法还作为乘法的逆运算，已知两个数之积和一个因数，求另一个因数的运算，就像加法与减法互逆一样．理解除法中蕴含的3个要素（被除数、除数、商）及其关系是学生数理逻辑思维能力的重要构成部分．从运算能力与推理能力的角度来看，除法的核心内容是算理的理解，小学阶段除法的算理主要集中在分数除法与小数除法，分数除法的算理是对除以一个数等于乘以该数的倒数的理解，小数除法的算理关键在于对位值的理解，依据不同数位上数字所表示的意义，类比整数的除法进行运算．加减法的逆运算借助相反数来表达，而除法作为乘法的逆运算，是借助倒数来进行表达的．

1.2 分数是数系扩充产生的一种新数

从词源来看，英文分数“fraction”一词源于frangere，是打破、割裂的意思．在《九章算术》中将分数叫“命之”，即“命分”，而《几何原本》中的真分数也是指部分的意思．因此，从分数的命名来看，是源于第二个定义方式，小学教材中习惯上喜欢利用“整体与等分”的方式来定义分数，这种定义的优点在于借助几何直观，学生容易理解，但是缺点就是在强调等分的同时，弱化了分数的本质，正如弗赖登塔尔所指出的：“测量产生的是小数而不是分数，分数的出现是为了使除法可以继续进行下去……一旦接受了7/3，那么在计算中便可将其作为这一除法的结果来加以处理．”[2]

现代数学中，分数概念的定义方式有很多种，在小学数学教材中主要涉及以下4种：第一，商的定义（运算中出现的新数）；第二，份数定义（表示整体与等分的关系）；第三，比的定义（两个事物量之间的整数比）；第四，数线定义（数与点的对应关系）[3-6]．分数的这些概念涉及了连续量与离散量的不同情境，并具有一些特殊的性质，如等值、稠密性等．目前，虽然小学数学教材中尽量避开第一种定义方式，但是这种定义体现了分数的本质，分数首先是一个数，是为了保证运算封闭而生成的新的数字符号，是数域扩张的产物．运算为分数概念奠定了基础，但是分数不是运算的过程，而是结果．因此，分数的现实意义主要有两个．第一个是数系的扩张，体现了除法运算结果，这里需要注意的是分数是除法运算的结果（数），而不是除法运算本身．分数与自然数、整数等一样，可以在具体情境中形成分数的概念，通过感悟分数的大小比较、基本运算、数量表达等来理解分数的意义．第二个是整体与等分，通过等分形成分数单位，这是非常重要的概念，无论是在分数的运算，还是分数的大小比较，都是以分数单位作为基础；从几何直观的角度来看，分数可以利用几何图形来直观表达，这是数形结合思想方法的集中体现，便于抽象的分数形象化．

1.3 比是对数量的倍数关系的刻画

比的概念在中国大陆现行教材中的描述如下：按例子那样两个数量之间的倍数关系也说成比，两个数的比表示两个数相除，比值通常用分数表示，也可用小数或整数表示[7]．两个数量之间的这种关系还可以说成比，两个数相除又可以叫做两个数的比，比的前项除以后项得到的商叫做比值，两个数的比可以写成分数形式[8]．按例子那样，两个数相除，又叫做这两个数的比[9]．比表示两个数之间的一种关系，比也可以用分数的形式表示，两个数的比可以写成两个数相除的形式，两个数相除的形式也可以写成两个数的比[10]．在中国台湾的小学数学教材上对比的刻画分为两个阶段，1993年以前的教材中，“比”是指两个量的倍数关系的记录，而1993年新编的教材中，“比”是指并置的两个量的对等关系（或称为配对关系、对应关系）的记录[11]．由此可以看出，中国大陆的教材大体上从两个方面对比的概念进行描述：一是刻画数量之间的关系，这种描述揭示了比的本质；二是借用除法与分数来刻画比，这描述模糊了比的本质，容易造成学生对比与除法之间关系的混淆．在中国台湾的教材中更清晰地阐述了比的本质．

《辞海》对比的注释的全文是：数学名词．比较两个同类量和的关系时，如果以为单位来度量，称为比，所得的数称为“比值”，记∶=．“∶”是比号，比号前的量称为“比的前项”，比号后的量称为“比的后项”．《辞海》中关于比的解释的缺陷是没有概括出两个不同类量比较的情境．实际上数学中比的本质在于揭示两组量之间的倍数关系，其中包括同类量与不同类量．同类量相比，所得比值单位为1，例如，长方形的长与宽之比，溶液的颜色之比，夏普比等．不同类量相比，所得比值单位是复合单位，例如，路程与时间之比，总价与数量之比等．比描述了两个量之间关系的一般性，即表达同一比值的两个量并不是唯一的，只是它们的比值是固定不变的，这样的两个量有无穷多个．因此，比是对量的关系的一种表达，这里的量蕴含了同类量与不同类量两种情况．

2 概念关系的辨析

对于比、除法与分数3者之间的关系，可以利用图1来表示，从图中可以看出，除法是一种数学运算，表示两个数之间的运算关系，它的操作对象是数，当两个数不能整除时，其运算结果就是分数；比的本质是表示两组数量之间的倍数关系，其比值结果可以用分数来表示，在比值的运算过程中，可以借助除法运算来完成；分数是一个数字符号，与自然数、整数一样，它的出现是数域扩充的结果．也正因为分数是一个数，才能够将分数作为除法与比的结果．

2.1 除法与比之间的关系

除法是表示两个数之间的运算关系，而比的本质是两组数量之间的运算关系．因此，在理解除法与比的关系之前，需要明确数与数量的区别，数量是对现实生活中具体事物的量的抽象，其本质是多与少．例如，一块石头，两只鸟，三颗星，四匹马，五朵花，六头牛，七张纸，八扇门，九个人，十条鱼，数量中也含有数字，但数量中的数字是对事物的描述，带有实际背景．数是对数量的抽象，其本质是大与小，在形式上，数量去掉数量词得到了数，实质上，数的形成是摆脱实际背景的过程[12]．例如，数字“1”不再表示某一种具象的事物，而是一般化的符号，每一个具体的时间都是这个数字符号的特例，数比数量要更加抽象．也可以说，数是对数学世界的表达，而数量是对现实世界的描述．

图1 概念之间的关系

除法与比的区别表现在以下两个方面．第一，两者对象不同．除法是数学中表示两个数的运算；比是现实中表示两组数量的关系，例如，长方形的长与宽之比为1∶3，则表示量之间的倍数关系，可以将满足这种长宽之比的长方形视为一个集合，那么2∶6，3∶9，1.5∶4.5……都是这个集合的元素，这些长方形的形状相同．比是一个等价类，这是除法和比之间的本质区别．第二，两者功能不同．除法源于乘法，是平均分的数学化过程；比源于度量，包含可公度与不可公度，解决了可度量属性（长度、面积、体积）与不可度量的属性（颜色、形状、质地）的可比性．因此，比是一种对数量倍数关系的数学表达，而除法是对数字的运算．除法与比的共性表现在除法与比都包含了结果，除法的结果是商，而比的结果是比值．除法与比的结果都可以用分数来表示，在计算比值的过程中可以用除法来表示比．

2.2 比与分数之间的关系

分数作为一种数，其表现形式与自然数、整数有一定的区别，自然数或整数的相等时只有自身相等，而分数则不同，分数相等不仅是自身相等，还可以根据分数的基本性质来构建一个等价类．每个分数的等价类中都包含一个最简分数，最简分数是分数等价类中的“代表分数”，需要强调的是，分数等价类中的所有分数并非不同的分数，而是“代表分数”的不同形式．前面已经提过，比也是一个等价类，最简数量比就是比的等价类的“代表比”，其它的比均是这个“代表比”的不同形式．从这一点来看，分数和比之间存在相似之处．因此，分数可以作为比值来刻画比．

虽然分数与比都可以视为一个等价类，但是两者之间并非完全相同，也不能相互替代．首先，分数是数的等值变形，分数的等价类描述的是一种等价数，例如1/2可以用2/4，3/6…来表示，这也是教材一直强调的，分数的本质在于它是数．而比是数量关系的等值变形，比的等价类描述的是一种等价关系，只是用分数来表示它的比值结果．其次，分数与比的单位不同，分数单位是通过等分得到的，因此，分数本身具有无量纲性．例如，将一个整体平均分为5份，每份都是1/5，与整体的大小无关．而对于不同量之间的比，其单位是复合的，由简单量词相乘或者相除得到，因此，不同量的比值是一个有量纲的量．

2.3 分数与除法之间的关系

在分数的定义中，有一种方式就是借助除法来进行定义的，即分数是整数除以整数（≠0）所得的商[13]，这种定义方式体现了分数的本质．可以说，除法运算的封闭性是分数产生的基本根源，有了分数，就能准确描述那些可细分的量，分数的引进是数学发展的外在动力和内在动力共同作用的结果，蕴含着数学理性精神[14]．反过来，也可以对分数进行除法运算，在数系的扩充过程中，通过相反数概念来界定负数，从而实现自然数到整数的扩充，同样，也可以利用倒数来实现整数到分数的扩充．而倒数可以通过除法来定义：对于∈Z且不为0，满足×=1的数称为的倒数，表示为1/，这样就得到了分数1/，除法与分数1/的关系表示为÷=×1/．有时也把除法写成倒数的形式÷=/，虽然在形式上这与分数是一致的，但是两者之间具有本质差异，其根本的区别在于除法是一种基于数字的数学运算，是平均分的数学化过程，而分数是除法运算的结果，已经是一个数字．

3 对“除法”“分数”与“比”教学的启示

基于以上分析可以看出，除法、分数与比之间既存在着必然的联系，又具有一定的区别．研究者通过梳理3者之间的共性与特性．希望能够对除法、分数与比这3个概念的教学有启示．

3.1 抓住本质——凸显概念的基本特性

数学概念是数学的核心基础，在数学教学占有重要的地位，每一个数学概念都是事物在数量关系和空间形式方面概括抽象出来的理性结果，是人们对事物本质属性的认识，需要学生经历概念的抽象形成过程，从整体上感悟数学概念的属性特征，突出概念的本质．在概念教学之初，要让学生了解并认同引入这一概念的必要性，使学生感悟数学概念的独特性，这对帮助学生有意识地去理解概念是非常有利的．

除法、分数与比这3个数学概念，虽然具有一定的相似性，但是互相之间又无法替代，各具教育价值．以比为例，“比”的概念教学，不能过于强调“两个数相除就叫做两个数的比”，要解决学生意识中“既然相除就是比，为什么要学习比？”这一质疑，而这个问题也是存在于大多数学生和教师心中的一个疑惑．为了解决这个疑惑，在学习比的概念时，首先要让学生基于“比的意义”感知数学中引入“比”的概念的教育价值，凸显比的重要性与必要性，然后基于“比的应用”获得利用比的意义来解决实际问题，突出比的优越性与实用性．因此，在教学中，更应该让学生明确分数、除法与比这3个概念的独特价值，以及它们之间的本质特征．

3.2 横向链接——建构概念的联结关系

数学作为一个历史概念，经过了漫长的发展过程，形成了庞大、系统的知识体系，概念之间是相互联结的，除了要辨别除法、分数与比之间的本质特征，还要构建3者之间的联结关系，并且以这3个概念为核心内容，辐射其它的数学知识与技能．在教学中，教师不仅要关注知识的生长点，更应该注重相关知识的连接点与延伸点，概念表征间的转换能力是影响学生数学学习、问题解决及产生、有意义学习的重要因素[15]．从整体视角出发，形成概念的网络体系，如图2所示．例如，谈及分数，学生脑海中会出现倒数、通分、约分、数系扩张、小数等相关概念，以分数为中心，可以生成一系列的概念，形成核心内容群，这样更有利于学生对分数的认识．

图2 核心内容群结构

从数学史来看，比可以与其它数学内容建立起关联．比与音乐，古希腊学者毕达哥拉斯发现，可以把音乐归结为线段长度之间的关系；比与黄金分割，分一线段为二线段，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外比[16]．在小学教学中，比可以涉及到度量、正比例、反比例、比值、函数等相关概念，教师就是要帮助学生建立起概念之间的联系，使新信息与原有认知结构中的有关概念相互发生作用，实现新旧知识的意义的同化，从而使原有的认知结构发生积极变化[17]．学生要更好地理解一个数学概念，一个有效途径就是以该概念为核心构建一个结构网络，网络的结点与线路越多，概念的理解就越深刻，这是教学的关键所在．

3.3 创设情境——实现概念的深度学习

在概念教学中，学生学习数学概念是有一定难度的，为了解决学生学习上的困难，需要根据所教数学概念的特征，在数学概念的抽象逻辑建构基础上，将数学概念情境化、生活化、活动化．选择恰当的教学素材，创设适切性的教学情境，情境的创设要体现数学学科的本质，形成学生的认知冲突，使学生在冲突的过程中，经历从具体情境中抽象出数学概念，从多个角度对数学概念进行深刻的理解，进而使学生根据问题情境的具体需求，通过改变概念的认识角度，形成数学概念的不同表征方法．

小学阶段，学生的心理特征与知识结构表现为形象性与基础性，这与数学概念的抽象性构成矛盾．以分数为例，分数的发展史漫长而曲折，学生对分数的理解过程就是整个分数发展史的缩影．分数的概念有很多种定义方式，需要让学生能从不同的定义方式来理解．学生在概念认识阶段，应该侧重“商的定义”方式，让学生体会分数是数；在概念分析阶段，应该侧重“份数定义”方式，让学生进一步体会分数的整体与部分的内涵；在概念构建阶段，应该侧重“比的定义”与“线数定义”，让学生感悟分数概念的多元化，参与分数概念的探究过程，让学生尽量接触各种不同的分数情境，引发学生的深度思考，通过问题探究与内容理解实现感念的深度学习[18]，教师能够系统掌握分数的各种意义十分必要，这是遴选与设计分数问题的基础，建立分数意义与问题之间的关联有利于提高小学生对分数概念的认知与理解．

3.4 广泛拓展——体现概念的核心素养

从国际数学教育发展趋势来看，许多国家都将数学核心素养视为课程设计的关键因素，传统的数学教学受制于应试教育，教学中更多的是以基础知识与基本技能为价值取向，忽略了对学生数学素养的培养．数学的课堂开始从“以知识为本”逐渐转向“以人为本”，数学核心素养也逐渐地蕴含于教学之中．在义务教育阶段已经出现了10个数学核心素养，即数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识以及创新意识，这些数学核心素养都适应了时代对人才培养的需求[19]．

从数学核心素养的视角来理解这3个概念的教育价值，除法是一种数学运算，集中表现为学生运算能力与推理能力．如在学习除法时，看除法，想乘法，是利用两者之间互为逆运算，这个过程可以表示为，若×=，又因为除法是乘法的逆运算，所以可以得到=÷，这实际上是一个完整的演绎推理的过程．分数首先是数，集中表现为数感．对于数感强的学生，会有意识地把分数与整数、自然数建立联系，认识到分数的本质．而比则表现为符号意识，可以利用数学符号的一般性来表示比的等价类，尤其是由此衍生而成的正比例与反比例，正比例函数与反比例函数蕴含着符号意识．因此，在学习除法、分数与比等内容时，很容易联系相关的核心素养，除法的学习过程有利于形成学生的运算能力与推理能力，分数的学习过程有利于形成学生的数感与几何直观，比的学习过程有利于形成学生的符号意识．

[1] 马云鹏．关于数学核心素养的几个问题[J]．课程·教材·教法，2015，35（9）：36–39．

[2] 弗赖登塔尔．作为教育任务的数学[M]．陈昌平，译．上海：上海教育出版社，1995：185．

[3] 史宁中．数学与数学教育[M]．长春：东北师范大学出版社，2007：227．

[4] 史宁中．基本概念与运算法则——小学数学教学中的核心问题[J]．北京：高等教育出版社，2013：13–16．

[5] 张奠宙．小学数学研究[M]．北京：高等教育出版社，2009：78．

[6] 吴正宪，刘劲苓，刘克臣．小学数学教学基本概念解读[M]．北京：教育科学出版社，2014：161．

[7] 户江，杨刚．义务教育教科书数学六年级（上册）[M]．北京：人民教育出版社，2014：1．

[8] 孙丽谷，王林．义务教育教科书数学六年级（上册）[M]．南京：江苏教育出版社，2014：1．

[9] 刘坚，孔企平，张丹．义务教育教科书数学六年级（上册）[M]．北京：北京师范大学出版社，2014：1．

[10] 张天孝．义务教育小学实验教科书数学六年级（上册）[M]．杭州：浙江教育出版社，2010：1．

[11] 王永．比是什么——台湾地区关于“比”的教材改革的启示[J]．小学教学（数学版），2009（6）：32–33．

[12] 史宁中．基本概念与运算法则——小学数学教学中的核心问题[M]．北京：高等教育出版社，2013：3–7．

[13] 蒲淑萍．“中国美国新加坡”小学数学教材中的“分数定义”[J]．数学教育学报，2013，22（4）：21–24．

[14] 章敏．关于分数教学的思考[J]．课程·教材·教法，2015，35（3）：63–67．

[15]  BEHR M J, WACHSMUTH I, POST T R. Order and equivalence of rational numbers: A clinical teaching experiment [J]. Journal for Research in Mathematics Education, 1984, 15 (11): 323–341.

[16] 史宁中，娜仁格日乐．小学数学教科书中的比及其教学[J]．数学教育学报，2017，26（2）：1–5．

[17] 朱立明，马云鹏．基于新课标的数学价值感悟研究[J]．数学教育学报，2014，23（5）：33–35，55．

[18] 王跃红．“数”的知识建构特点与课程教学建议[J]．课程·教材·教法，2008，28（8）：45–48．

[19] 朱立明．基于深化课程改革的数学核心素养体系构建[J]．中国教育学刊，2016（5）：76–80．

A Comparison and Contrast of Division, Fraction, and Ratio in Elementary School Mathematics

ZHU Li-ming1, MA Yun-peng2

(1. Faculty of Education, Tangshan Normal University, Hebei Tangshan 063000, China; 2. School of Education, Northeast Normal University, Jilin Changchun 130024, China)

It is very easy to confuse the concepts of division, fraction, and ratio in primary school mathematics. Not only are there different relationships among these concepts, but they also exhibit different features. Whether students understand mathematical concepts and their relations is important to deep learning and directly influences the development of students’ thinking and cognition. Division means an operation between two numbers, and the result of this operation is a fraction when two numbers cannot be divided. The essence of a fraction is a number, or a ratio, which means a symbolic relationship between a part and whole. The essence of ratio is a relationship between two groups of numbers. Division can be used to compute the problems of ratios and the specific value can be a fraction.

division; fraction; ratio; deep learning

G632.4

A

1004–9894（2020）05–0032–04

朱立明，马云鹏．小学数学中“除法”“分数”与“比”的辨析与思考[J]．数学教育学报，2020，29（5）：32-35．

2020–03–26

河北省高等学校人文社会科学研究项目——数学新手型教师关键能力生成机制的跟踪研究（SZ18058）；河北省教育厅人文社会科学重点项目——河北省小学生课业负担测评模型构建与应用研究（SD182012）

朱立明（1986—），男，河北承德人，讲师，博士，主要从事小学数学教育研究．

[责任编校：陈汉君、陈隽]