也谈分类讨论在初中数学解题中的应用

韩启国

在研究和解答某些初中数学问题时，有些问题无法用一种形式解决，也有些问题的结论不唯一.因此，我们需要把所要研究的问题根据题目的特点和要求，选定一个标准，将其划分成几个能用不同形式解决的小问题，然后再将这些小问题一一解决，最后综合各类结果得到整个问题的答案.这就是我们常说的分类讨论法，而运用这种方法的思想就是分类讨论思想.

分类讨论，是一种重要的数学思想，也是一种逻辑方法，又是一种重要的解题策略.分类讨论思想具有较高的逻辑性和很强的综合性，对提高学生对学习數学的兴趣，培养学生思维的条理性、缜密性、科学性有很大帮助.所以其在数学解题中占有重要的位置.下面列举两例，供大家参考.

例1 已知（a+b+1）（a+b-1）=24，且（a-b+1）（a-b-1）=0.求a、b的值.

解：∵（a+b+1）（a+b-1）=24，

∴（a+b）2-12=24.

∴（a+b）2=25.

∴a+b=±5.

∵（a-b+1）（a-b-1）=0，

∴（a-b）2-12=0.

∴（a-b）2=1.

∴a-b=±1.

由a+b=±5与a-b=±1可知，需分以下四种情况.

（1）a+b=5，a-b=1，解得a=3，b=2.

（2）a+b=5，a-b=-1，解得a=2，b=3.

（3）a+b=-5，a-b=1，解得a=-2，b=-3.

（4）a+b=-5，a-b=-1，解得a=-3，b=-2.

所以a=3，b=2;a=2，b=3;a=-2，b=-3;a=-3，b=-2.

说明：本题利用平方差公式计算后，要进行分类讨论.分类讨论时要考虑全面，切勿漏掉答案.

例2 如图1，在平面直角坐标系内，已知点A（2，1），O为坐标原点.点P在坐标轴上，且△AOP为等腰三角形.求点P的坐标.

图1

分析：点P在坐标轴上，坐标轴有x轴与y轴.△AOP为等腰三角形，可有AO=AP、OA=OP、PO=PA三种情况.解题时考虑要缜密，逐一分类解答，不可遗漏.

解：因为点A的坐标为（2，1），所以OA=5.

（1）当点P在x轴上时，

①当AO=AP时，点P的坐标为（4，0）.

②当OA=OP时，点P的坐标为（5，0）或（-5，0）.

③当PO=PA时，点P的坐标为（54，0）.

（1）当点P在y轴上时，

①当AO=AP时，点P的坐标为（0，2）.

②当OA=OP时，点P的坐标为（0，5）或（0，-5）.

③当PO=PA时，点P的坐标为（0，52）.

所以点P的坐标有8种情况，分别为（4，0），（5，0），（-5，0），（54，0），（0，2），（0，5），（0，-5），（0，52）.

在本文的例题中，分类讨论的特征比较明显.这也告诉我们，在解决初中数学问题时，通过正确的分类，可以使复杂的问题得到清晰、严密、完整的解答.不仅有利于培养学生对数学学习的兴趣，还有利于培养学生思维的条理性和缜密性.