环Z4+uZ4上负循环码的Hamming距离

王艳萍,李 杰

(宿州学院 数学与统计学院，安徽 宿州 234000)

随着对环Z4的研究，编码学者对环上循环码、常循环码进行了大量的研究[1-5]。其中，负循环码作为一类特殊的常循环码，也被广泛研究[6-8]。负循环码在整个编码与密码领域中有着重要的应用，其性质的探究显得格外重要。近些年，链环上码的研究相对成熟，非链环上码的研究相对较少。本文将研究一类非链环上码的一些性质，主要通过对环Z4+uZ4负循环码结构及性质的研究，定义了环上挠码和剩余码的概念，通过负循环码及其挠码的关系，讨论了该环上负循环码的Hamming距离，为编码与密码学提供了理论参考。

1 预备知识

记R=Z4+uZ4={a+ub|a,b∈Z4,u2=0}，且R≅Z4[u]/。环上的单位：1,3,1+u,1+2u,1+3u,3+u,3+2u,3+3u；其非单位：0,2,u,2u,2+u,2+2u,3u,2+3u。易知，该环不是主理想环，且有极大理想(2,u)。

定义1 在Rn上，有τ-1(c0,c1,…,cn-1)=(-cn-1,c0,…,cn-2)，对线性码C有τ-1(C)=C，则码C是R上的负循环码。

下记S=Z4，Rn=R[x]/(xn+1)，Sn=S[x]/(xn+1)。∀f(x)∈Rn，能唯一写成f(x)=f1(x)+uf2(x),f1(x)、f2(x)∈Sn。如无特殊说明，本文所出现的R、S、Rn、Sn均为上述记法，且约定文中的n=2k。

引理1 在Rn中，假设m=2k,k∈N+，则有(x+1)m=xm+1+2xm/2。

引理2 在Rn中，若当n=2k,k∈N+时，则Rn为局部环，且其极大理想为(u,x+1)。

证明 可定义映射Φ:Rn→Sn，有Φ(f(x))=f1(x)mod(u)，易证Φ为满同态。由文献[9]可知：Z4[x]/(x2k+1)是局部环，(x+1)为其极大理想。则有Φ-1((x+1))=(u,x+1)。又因(u,x+1)里包含Rn中的所有非单位，所以(u,x+1)是Rn唯一极大理想，即Rn是局部环。

引理3 在Rn中，(x+1)n=2xn/2，(x+1)为幂零元，幂零指数为2n。

证明 (x+1)n=xn+1+2xn/2，因xn=-1,(x+1)n=2xn/2，则(x+1)2n=0。下证，不∃l<2n,有(x+1)l=0。设∃n

2 环R上负循环码的Hamming距离

引理4[10]记I为Rn上的理想。如果T是满足下面式子的最小正整数。

u(x+1)T∈I=((x+1)s+u(x+1)th(x))

当1≤s≤n-1,0≤t

当n≤s≤2n-1,t

当n≤s≤2n-1,t≥s-n,degh(x)≤n-t-1，h(x)∈Sn为单位时，则T=min{s,2n-s+t}；

u(x+1)T∈I=((x+1)s+2u(x+1)th(x))

当n≤s≤2n-1,0≤t

u(x+1)T∈I=((x+1)s+u(x+1)t(2h1(x)+(x+1)lh2(x)))

当n≤s≤2n-1,0≤t

注1 假设T1为使得当2u(x+1)T1∈I=((x+1)s+u(x+1)th(x))时对应的最小值，在此不再具体讨论。

为讨论环R上负循环码的Hamming距离，首先定义其挠码与剩余码。

由上述概念，可得：

(1)平凡理想

① 当C=(0)时，则有Tor(C)=Res(C)=(0)；

② 当C=(1)时，则有Tor(C)=Res(C)=(1)；

(2)主理想

① 当C=(u(x+1)m),0≤m≤2n-1时，则有Tor(C)=((x+1)m),Res(C)=(0)；

③ 当C=((x+1)s+2u(x+1)th(x))，n≤s≤2n-1,0≤t

④ 当C=((x+1)s+u(x+1)t(2h1(x)+(x+1)lh2(x)))，n≤s≤2n-1,0≤t

(3)非主理想

① 当C=((x+1)s+u(x+1)th(x),u(x+1)m),1≤s≤2n-1,0≤t

② 当C=((x+1)s+2u(x+1)th(x),u(x+1)m)，n≤s≤2n-1,0≤t

③ 当C=((x+1)s+2u(x+1)th(x),2u(x+1)m1)，n≤s≤2n-1,0≤t

④ 当C=((x+1)s+u(x+1)t(2h1(x)+(x+1)lh2(x)),u(x+1)m)，n≤s≤2n-1,0≤t

⑤ 当C=((x+1)s+u(x+1)t(2h1(x)+(x+1)lh2(x)),2u(x+1)m1)，n≤s≤2n-1,0≤t

引理5 对R上负循环码C(n=2k)，有dH(C)=dH(Tor(C))。

证明 因为uTor(C)⊆C，所以有dH(C)≤dH(uTor(C))=dH(Tor(C))。又∀0≠c∈C，如果c(modu)=0，则∃0≠c′∈Tor(C)，有c=uc′，所以WH(c)=WH(uc′)=WH(c′)≥dH(Tor(C))。如果c(modu)≠0，则c(modu)∈Res(C)⊆Tor(C)，所以WH(c)≥WH(c(modu))≥dH(Tor(C))。即证。

命题1[11]Z4上长为n=2k的负循环码为码C，则C=((x+1)i),0≤i≤2n,其Hamming距离：

由引理5、命题1及上述挠码分析，可得本文重要定理。

定理1R上长为n的负循环码C，有C的Hamming距离：

(1)当C=(u(x+1)m),0≤m≤2n-1时，dH(C)=Δm；

(2)当C=((x+1)s+u(x+1)th(x)),1≤s≤2n-1,1≤t

(3)当C=((x+1)s+2u(x+1)th(x))，n≤s≤2n-1,0≤t

(4)当C=((x+1)s+u(x+1)t(2h1(x)+(x+1)lh2(x)))，n≤s≤2n-1,0≤t

证明(1)因当C=(u(x+1)m)时，有Tor(C)=((x+1)m),又dH(C)=dH(Tor(C))，由命题1可知dH(C)=Δm；

(2)当C=((x+1)s+u(x+1)th(x))时，有Tor(C)=((x+1)T)其中

将T的值代入命题1，可得

同理可证结论(3)和结论(4)。

注2 对于非主理想的情形，易得dH(C)=Δm与dH(C)=Δm1。

3 结 语

本文主要通过定义R上的挠码与剩余码，来讨论R上负循环码的Hamming距离，为代数编码与密码学提供了理论基础，后续将进一步研究该环上常循环码、对偶码等性质。