基于Kolmogorov熵的系统协同效应度量方法及实证

宋砚秋， 李慧嘉， 王 倩， 李桂君

(中央财经大学 管理科学与工程学院,北京 100081)

0 引言

协同学旨在揭示系统结构形成的过程，即自组织的自然规律[1]。在一个开放系统中，各组成部分不断地相互探索新的位置、新的运动过程或新的反映过程，在持续的交互过程中，某些重要元素，也称为序参量，在不断加强和增长，最终支配了所有其他运动形式，使系统达到了具有较高级的、有序的新状态[1]。协同理论在物理、化学、生物、工程技术和社会科学等领域都有非常广泛的应用。面对日益复杂的社会经济环境和网络化系统格局，该理论不仅可以用于评价和预测系统的协同程度，而且提供了分析系统结构发展过程的方法论，在系统分析、决策制定和政策分析中得到越来越多的关注[1,3,4]。

协同学(Synergetics)强调结构形成过程中序参量的形成和支配作用[1]，而协调(Coordination)是两种或两种以上子系统间配合得当、和谐一致、良性循环的关系，以达到减少系统运行的负效应、提高系统的整体输出功能和协同效应的目的[5]。前者关注复杂系统自组织的整体性、综合性和内生性，实现“1+1>2”的协同效应[6]，基于这一思想的协同度模型旨在测量系统的整体协同效应，评价真实客观的运行规律，但模型求解比较困难，尚无成熟可用的测量模型[7]。后者侧重于子系统间的一致性、同步性，测量系统现状与理想状态或者基点状态的差距[7]。在以往的研究中，已有许多学者基于协调发展思想构建了测量协同度的模型，主要包括基于距离的协同度模型[8,9,5]、基于两期变化的协同度模型[10,11]及其他模型[12,13]。

协同度模型是衡量系统协调合作发展水平的核心。现有研究多以协同发展理论为基础，用复杂系统内部各子系统间的距离及不同时刻的变化趋势来测量系统的协同度，这类模型通常要求子系统在不同时刻的状态是确定的，或者系统具有固定的理想状态。然而复杂系统的自组织特性往往表现在某一时刻系统中各部分的可能变化方向是不确定的，且许多现实经济和社会系统没有可测量的理想状态，因此目前的协同度测量模型大都需要苛刻的使用条件，无法广泛而便利地应用于具有多个子系统、发展状态不确定的复杂系统。在信息论中，用“信息”来度量系统的有序程度，而“熵”则是与“信息”相反的测量系统无序程度的指标[14,15]，如果能够计算出复杂系统整体的熵值(一般为子系统熵值的耦合)，便可以用来有效地测量复杂系统整体的协同效应。

基于上述思想，本文首先分析了经典协同度模型的计算原理，总结出这些模型的约束条件和不足。在此基础上，首先验证了Kolmogorov熵(以下简称k熵)与系统协同度的关系，并进一步提出了基于k熵的复杂系统协同度模型及计算方法。该方法考虑了序参量在系统某一时刻的发展趋势，能够在更大程度上反映系统的有序程度，弥补了现有研究的不足。最后，以中国2004～2015年各省份的科技金融系统为评价对象，对新的协同度模型与评价方法的应用范围进行了实证研究。分析发现，本模型不仅能够有效找到子系统的序参量，而且可以方便的计算系统协同度并以此描述系统发展对重大事件的反映。

1 国内外研究背景

1.1 协同度相关研究

目前国内外对于协同度的量化模型的构建主要基于协调发展的思想，包括基于距离的协同度模型、基于两期变化的协同度模型及其他模型。基于距离的协同度模型主要有离差系数最小化模型[8]、隶属函数协调度模型[9]、欧式距离协调度模型[5]等，一些模型在此基础上进行改进，如考虑灰色关联度的距离模型[7]、采用最优分段聚类法构建的欧氏距离协调发展度聚类模型[16]等。基于前后两个时刻子系统变化的协同度模型主要包括有序度变化模型[10]、有序度的熵模型[11]以及隶属函数协调度模型[9]。后续许多学者应用这一思想进行协同度测量，如王宏起和徐玉莲[17]对科技创新与科技金融协同度的测量，李桂君等对我国小城镇发展协同度模型的构建[18]等。其他模型则主要有DEA协调度模型和基尼系数协调度模型，其中DEA模型假设系统越协调，则系统的投入产出效率越高[19]；基尼系数模型假设系统理想协调时，各子系统的特征值在地区单元上的分配是均衡的[13]，这两种模型多用于计算区域的发展程度、资源与环境效率、城市交通系统等的度量[19,13,20]。总体而言，现有协同度模型归纳如表1所示。

通过上述归纳总结发现，基于距离的协同度模型需要确定系统的理想状态，然而社会经济系统往往无法准确界定理想点。现有研究通常采用假设理想点或者将其他子系统作为理想点来计算，但是理想的发展程度值的假设并没有得到严格的论证[7]，而将其他子系统作为理想点则需要论证系统之间的协同关系，但对于子系统数多于两个的系统则难以证明这种协同关系[5]。基于两期变化的协同度模型则认为所有子系统在不同时刻的发展值均增大的系统才是协同的[10,17]，这与协同学中的序参量自组织过程具有随机性的思想相悖，使得采用此类方法计算的社会经济系统还需具备持续正向发展的条件。而DEA模型、基尼系数模型等则使用系统发展值来代替系统的协同度，不是对协同效应的直接测量。由于上述模型在分析和计算中有很多的限制，无法方便有效地应用于现实复杂系统，因此迫切需要提出新的方法，以便提高协同度计算的效率和应用。

表1 现有协同度模型归纳

1.2 序参量相关理论

在协同学中，系统内部的变量主要由两部分组成。分别是：快松弛变量和慢松弛变量，其中在系统整个演化的过程中起着主要作用的是慢松弛变量，也被称作序参量，系统的宏观结构，是由几个序参量所决定的。序参量的变化特征分为两类：第一类序参量追求目标极值(极大值或极小值)，越是接近极值，系统的有序性越好，如人均GDP；另一类序参量要求目标稳定值，不能太大也不能太小，越接近稳定值，系统的有序性越好，例如人口出生率。因此建立子系统的偏微分方程并求解序参量成为计算系统有序度的常见思路，然而对于一个很复杂的子系统来说，需要建立大量的偏微分方程并求解，该求解过程比较复杂。而基于序参量是一个慢松弛变量的理论可以发现，序参量之间的协同合作决定着系统的有序结构，但随着控制参量的变化，几个相互合作的序参量也会产生竞争作用，一旦控制参量达到某个阈值，最终会导致某个序参量来控制整个系统的结构，即在临界点处，由竞争形成了起支配作用的序参量[1]。

从子系统的协同来看，系统达到了一个更高层次的协同。所以一个系统中的序参量的个数是较少的，且序参量是衡量系统有序度的主要参数。序参量是一个慢松弛变量；随着有序程度的升高，有序参量程指数增长；序参量在系统的演化过程中起着主导地位。因此可得：

ρ∝lnq

(1)

其中ρ表示协同度，q表示序参量。

由序参量的定义可知，系统的协同度越高，序参量的值越大，而一个系统越混乱，则该系统的有序程度越低，系统的协同度越低。同时，熵是度量系统混乱程度的一种变量，由此可知序参量与系统熵值之间存在倒数关系:

(2)

其中k表示k熵，q表示序参量。

由于直接计算序参量较为复杂，而熵值则较为容易计算，基于此，本研究从序参量变化对系统熵值的影响出发，证明熵与系统有序度之间的关系，并据此建立计算系统有序度与协同度的模型。

2 Kolmogorov熵与系统演化关系的证明及求解

2.1 m维相空间中k熵与系统演化的关系

Kolmogorov熵是动力学系统轨道分裂数目渐进增长率的度量。k熵描述了混沌轨道随时间演化信息的产生率，它在表明系统的混沌性质方面一直起着重要的作用，如何方便、快速、有效地从时间序列信号中将它提取出来，一直是从事混沌应用研究的学者感兴趣的课题[41,42]。本文提出了一种新的在m维相空间中计算混沌时间序列的k熵的方法，并将其应用于多维子系统的协同度计算当中。

定理1在时间t下社会系统的演化过程中的熵值k与系统的演化程度存在如下关系

k(t)=lnm(t)

(3)

(4)

其中，极限ε→0取在极限n→∞之后，它使k的值实际与相空间分割无关，若取τ→1，则极限τ→0可以省略。这样定义的k熵可以精确刻画动力学系统在运动过程中的无序程度。

为了便于计算，分析k熵对系统的无序程度刻画，这里讨论一般的情况，设初始时刻(t=0)系统在第I0个状态，即

其中，I0表示系统在t0时刻下所处的状态，即序参量的取值，i0表示该子系统在n维的空间中所划分成的m个小的n维空间中的其中一个子空间。

由于系统的运动的性质不同，在下一刻社会系统的轨道处于不同的状态，当t=T的时候，系统的状态可以扩散到其他状态中，且概率相等。

(6)

类似的有

(7)

于是有

[-lnm+lnP(i0,i1,…,in-2)]

=Nlnm

(8)

通过(8)式与(4)式可以得到：

k(t)=lnm(t)

(9)

证明完毕。

该定理说明了在t时刻，k熵与子系统可能的演化方向m维空间具有上述关系，因此对一个社会系统的k熵求解取决于空间维度的划分。

2.2 k熵的求解

由于在实际中k熵计算较为复杂，所以需要采用其他的方法对k熵进行逼近，具体过程见参考文献[45]，其大体步骤如下：

首先，将q阶Renyi熵定义为：

(10)

而Grassberger和Procaccia[43]证实了当q1≥q2时，Rq2≥Rq1，因而R2≤R1≤R0。其中R0为拓扑熵，R1为k熵，R2为2阶Renyi熵。因此R2为大于0的有限数，提供了系统是混沌的充分条件。在一般情况下，R2是k熵的一个很好的估计：

(11)

虽然Grassberger和Procaccia给出了计算熵的公式，但在实际计算时非常复杂，因此目前不少学者都在研究其计算方法。本文提出一种新的在维相空间中计算混沌时间序列的k熵的方法。

(12)

(13)

(14)

对离散时间序列，固定延迟时间τ和嵌入维数m，则式为：

(15)

(16)

其中D2为关联维数。结合(13) 式和(14) 式，可以得出：

(17)

3 基于Kolmogorov熵的系统协同度模型构建

3.1 子系统的k熵计算

由于k计算比较复杂所以采用替换的方法，由公式(17)得到k熵的表达式为：

(18)

3.2 子系统权重及熵耦合

通过上述的算法求解出每一个子系统的熵值后，需要对多个子系统的权重进行求解，然后进行线性耦合，得到多个子系统耦合后的系统的熵值。

假设复杂系统的是由n个子系统所组成的，各子系统所占的权重分别为ω1,…,ωn。则有：

k(t)=ω1k1(t)+ω2k2(t)+…+ωnkn(t),Σωi=1

(19)

权重的求取方法有：因子分析法、主成分分析、神经网络等，可根据系统的实际情况进行选择。

3.3 复合系统协同度测度模型

通过协同度与序参量的关系(公式(1))、序参量与熵的关系(公式(2))，可以得到系统k熵与协同度之间的关系：

(20)

其中k(t)为多个子系统耦合后的系统的熵值，ρ表示协同度，b为协同度与序参量之间的关系参数，a为序参量与熵值k之间的关系参数，

协同度的具体计算算法如表2所示。

表2 计算协同度的具体的算法流程

3.4 与现有模型的对比分析

为进一步论证本研究提出模型的理论价值，将本研究模型与已有的协同度模型进行比较，如表3所示。

表3 与已有协同度模型的比较

与DEA[36]、基尼系数[13]等间接测量协同的模型相比，本研究模型直接通过k熵计算协同度，是对系统协同程度的直接测量；与“基于距离”[5]和“基于两期变化”[17]的协同度模型相比，本研究模型的限制条件更少，不需要设定理想点、无需对子系统间关系进行两两协整检验，因此对子系统的数量没有限制，且计算步骤更简便、速度更快。从模型中可知，由于不需要与理想点或下一时刻的值进行比较，因此k熵是反映某一时刻序参量对外部环境变化的发展趋势，对于每个子系统来说，序参量在每个时点的值是相对独立的，且可比较的，所以通过对k熵的计算和对比分析，不仅可以计算系统的协同度，而且可以判断该序参量对系统的支配程度，找到外部环境变化后系统自组织的时点以及起关键作用的序参量。

4 实例分析

为了验证上述协同度模型的适用性及性能，本文以科技创新和科技金融系统为对象，利用2004～2015年全国及各省份的数据，分别计算科技创新子系统和金融投资绩效子系统的协同度，进而计算全国以及各省协同度并进行对比分析。

4.1 评价指标体系构建

科技创新和金融投资系统协同评价体系的研究较多[17,39,40]。科技创新主要从研发产出、成果转化产出、产业化产出等方面进行衡量；金融投资则包括公共科技投资绩效(高技术产业利税与财政科技支出比值)和市场科技金融投资绩效(商业银行科技信贷额与贷款总额比值、科技资本市场投资回报率、风险投资管理资本总额)两大类，详细指标请见表4。

表4 科技创新与科技金融复合系统协同度测度指标体系

4.2 科技创新与科技金融协同度评价结果

4.2.1 根据k熵确定序参量

为了验证科技创新和金融投资子系统各参量的作用，本研究以全国为例，考虑到中国实施五年计划的经济政策，因此取n=5，以5年为单位计算k熵。首先分别计算科技创新子系统和金融投资子系统的k熵，然后依次剔除一个参数，再计算由其余参数组成的子系统的熵值，由剔除参数后熵值的变化来判断被剔除变量是否是序参量。若剔除某一变量后，子系统的熵不变，说明该参数为快松弛变量；若剔除后熵增加，则说明加入该参数可以降低熵值，即增加系统的有序程度，则该参数为序参量，也就是支配系统从无序到有序的变量；若剔除后熵降低，说明该变量受到环境影响后产生了剧烈的变化。科技创新和金融投资子系统的k熵如表5所示。在科技创新子系统中，S11(三大检索论文数量)、S12(发明专利授权数)、S21(新产品销售收入占主营业务收入比重)均在不同年份呈现出序参量的状态，且主要集中表现在2004～2005、2008～2009、2015三个阶段，而金融投资绩效子系统中起到支配作用的序参量一直是F11(高技术产业利税与财政科技支出比值)，在上述三个阶段对系统有序度起到显著影响，而且持续时间更长更稳定，具体结果如图1所示。

图1 科技创新与金融投资子系统序参量示意图

对科技金融各子系统的参数进行筛选的结果反映了各系统在重大政策及环境变化的影响下，即在系统临界状态时，在序参量的支配作用下达到新的稳定状态的自组织过程。2003年非典爆发后，催生了大量关于抗生素、检疫检测等技术的研发和应用，虽然由于技术路径的选择多样化使得S11和S21在此期间增加了系统的熵值，但2004～2005年论文数量(S11)、专利数量(S12)和新产品销售(S21)分别起到了支配系统达到协同的序参量作用，同时科技企业的利税在科技投入中比值也成为支配金融投资绩效的关键参数；2008金融危机后，中国政府推出的进一步扩大内需、促进经济平稳较快增长的十项措施，即“四万亿计划”是影响科技金融系统的主要外部因素，此时系统受到外力作用，需要出现支配作用的序参量使系统达到新的协同状态，四万亿投资主要集中在基础设施领域，但也间接拉动了对发明专利(S12)和新产品销售(S21)的影响，因此这两个参数在科技创新子系统中成为序参量，虽然之后使得熵值略有增加但可以忽略，在这一过程中，财政科技投资(F11)持续增加，科技企业在中国经济转型过程中的作用逐渐显著，因此F11相对于其他三个金融投资变量更为关键，一直表现为该子系统的序参量；随着2014年“大众创业、万众创新”国家战略的提出，大量资金涌入互联网、人工智能、共享经济等行业，带动了新一轮理论、专利、新产品的诞生，此时发明专利(S12)、新产品收入(S21)、科技利税率(F11)又一次发挥了序参量的作用，带领系统进入新的协同。

4.2.2 计算协同度

本文以子系统熵为基础，采用主成分分析确定子系统权重，进而计算全国及各省的协同度，如表6所示。2004～2015年协同度在0.5～0.7之间，且在2004年、2008年、2014年出现了协同度震荡，分别反映了在“非典”事件、“四万亿计划”、“双创”国家战略等社会和经济环境变化时，科技金融系统协同演化并达到新的协同状态的过程。

为进一步分析在重大社会经济事件后各省的科技金融系统协同度对全国的影响，本研究计算了每年各省协同度与全国协同度的欧式距离，并根据距离从小到大排序，结果如表6所示，从中可以发现，江苏省科技金融协同度的发展与全国最为一致，其次是辽宁、山东、广东、重庆，而北京和上海分别排在9、10名的位置。而图2显示，与全国最不同步的是贵州省。这说明，在2004～2015年间，江苏省科技金融系统的协同发展支配了全国科技协同度，江苏省的科技创新活跃度和经济发展一直处于全国前列，且定位清晰，科技产出、财政科技投入、创新活力等科技金融要素在江苏省的发展过程中始终是核心指标，而北京、上海等城市虽然经济发展良好，科技和金融投资等指标也有较好地表现，但基于北京政治中心、上海国际金融中心等城市定位，使得这些城市的科技金融系统中的干扰要素较多，因此在全国的科技金融系统中并没有发挥支配作用。

图2 科技金融协同度对比图

4.3 与已有协同度测量的比较

为了与已有协同度模型的分析结果进行对比，选择同样以科技子系统和经济子系统为实例进行分析的文献[5]和[17]进行比较，其中欧式距离协调度模型[5]代表“基于距离的协同度模型”，而有序度变化协同度模型[17]代表“基于两期变化的协同度模型”。 文献[5]是对各地区经济与科技子系统协调发展程度的绝对值进行比较和排序，找出协调发展程度更高的地区，而本研究模型则考虑各地区的科技金融协同程度对全国的影响，找到支配全国科技金融协同发展的序参量，因此，虽然从协调度排名上看，北京、上海等城市数值较大，但从对全国的影响来看，江苏省则起到支配作用。文献[17]采用相同的科技金融指标进行了协同度测量，其子系统有序度在0.2～0.6之间，且在2003～2005、2008年存在较大的协同度震荡(该研究数据截止2010年)。与之相比，本研究测量科技金融协同度时采用5年一个周期，使得子系统有序度更为平滑，但仍然表现出2004～2005、2008、2015年三个剧烈变化阶段，这说明本研究模型与已有研究对协同度的测量具有一致性。此外，本研究提出的k熵的计算方法与某一时刻序参量的变化方向(m维)有关，计算出的序参量值不依赖其他子系统或理想点，因此可以通过对参数的敏感度分析确定对子系统有支配作用的序参量，是对已有研究的进一步深化和推进。

此外，本研究分别选取基于距离模型中的“欧氏距离协调度”算法和基于两期变化模型中的“有序度变化协同度”算法分别计算了2004～2015年全国及各省科技金融系统的协同度，并与本研究模型计算的协同度进行对比，鉴于江苏省科技金融协同度对全国具有支配作用，主要选择全国和江苏省协同度数据进行比较，如图3所示。进一步对三种模型计算的全国与江苏省协同度偏差进行计算，如表7所示。

图3 三种协同度模型的实例比较

表7 三种模型计算的全国与江苏省协同度偏差

从图3和表7可以看出，基于k熵的协同度模型能有效的对我国科技金融系统的序参量进行识别，起支配作用的江苏省科技金融协同度与全国最为一致，偏差在1%以内，而基于距离模型和基于两期变化模型计算的协同度偏差较大，无法有效反映序参量在复杂系统动态变化的过程中的作用。因此，本研究模型对基于协同效应思想的系统协同度有更直接、有效的度量效果。

5 结论与展望

本文首先分析了协同度定量研究的思想，并总结各类协同度评价模型的特点及使用条件，然后基于协同学理论证明了Kolmogorov 熵与系统协同度的关系，构建了计算系统整体协同效应的量化模型，并进一步以中国科技金融系统为例进行了实证研究，验证了新方法的应用性能。具体结果表明：中国科技金融系统受到政策变化的影响后出现了协同效应，通过识别发明专利授权数、成果转化产出、公共科技金融投资绩效等重要的序参量，说明该模型能够有效反映重大决策及重大经济事件所带来的拐点效应；另外在2004～2015年的协同发展过程中，江苏省的科技金融系统与全国最为匹配，起到支配作用。

与基于协调发展的度量模型不同，本研究提出的模型是基于经典协同学理论构建的整体协同效应度量模型，是对理论的拓展和新思想的探索，弥补了现有协同度模型约束条件过多的不足，为从动态变化角度测量协同效应提供了新的思路和可行的方法。为了进一步提高预测精度，对模型中的参数进行确定、找到该模型的更多应用是进一步需要研究的问题。

表5 子系统k熵计算及序参量删选

表6 全国及各省协同度