薛德印
摘要:著名数学家华罗庚先生说:“读一本书要越读越薄。”想必学习数学也是这样的。对于圆锥曲线的知识量大,题型多,技巧多的特点,笔者从多年一线的教学实践中,去繁从简,总结归纳了一套易操作,实践性强,得分率高的解题策略,希望能够给学生学习圆锥曲线有一定的启发和帮助。
关键词:圆锥曲线;解答题;教学策略
一、分析原因
圆锥曲线是高中数学中的重要模块,但是对高中生来讲,圆锥曲线是一个难点,很多學生始终无法正确求解,特别是圆锥曲线的解答题,得分率很低。而对教师来讲,圆锥曲线还是很好解的。之间的障碍在哪里呢?如何破与立,引起了笔者的深思。
圆锥曲线解答题的特点:1.知识面广;2.题型多;3.运算量大
笔者认为学生得分低的原因是:
①没有掌握好解析几何的基础知识
②没有解题思路
③运算能力差
二、教学策略
针对(1)教学策略:复习解析几何知识点,并记住一些常见的二级结论(比如双曲线中焦点渐近线的距离为b等),让学生尽量理解和记住这些公式。
针对(2)的教学策略:归纳一些常见解题思路,让其先模仿。
解题思路归纳:
1.看到一个点,要写点的坐标
2.看到一个点,和有关直线,要写直线方程
3.看到直线与曲线相交与两点,要联立方程组,写出韦达定理,判别式
4.看到其他要求,要优先想几何关系,再想代数关系
针对(3)的教学策略:演绎运算,抛砖引玉。要突破,必须不怕运算。
教师板演几次运算,展示如何优化运算,接着让学生反复演练。
三、教学实践
在实际解题过程中,最重要的是解题思路,下面本文就解题思路的教学策略进行详细实践举例:
1.如何选择合适的直线(或者点)
在解题过程中,设出合理的直线方程是重要的一环。万事开头难,如果能设出合适的直线方程,可以大大减少运算,达到事半功倍的效果。常见的设置直线方程情况如下:
(1)当过(0,b)或斜率显然存在时,令直线方程为y=kx+b
(2)当过(a,0)或斜率可能会不存在时,令直线方程为x=my+a
(3)出现多条直线时,要选择一条当主直线,用主直线中的变量去计算
(4)有时会设点的坐标为变量代入,解题
例1.(2017.4浙江学考)已知抛物线C:y2=2px过点A(1,1)
①求抛物线C的方程
②过点P(3,-1)的直线与抛物线C交于M,N两个不同的
点(均与点A不重合),设直线AM,AN的斜率分别为k1,k2,
求证:k1k2为定值
解:①略 ②令M(x1,y1),N(x2,y2),MN:x= m(y+1)+3代入y2=x得y2-my-m-3=0
由韦达定理得:
k1k2==-2为定值
2.优先考虑几何关系
在解题过程中,优先想有没有几何关系可以利用,因为有几何关系的解答题运算量会小很多。
例2.( 2019.1浙南名校)
已知直线与椭圆
恰有一个公共点P,L与圆x2+y2=a2相交于A,B两点.
(I)求k与m的关系式;
(II)点与点关于坐标原点对称。
若当时,的面积取到最大值a2,求椭圆的离心率.
解:
(I)由,得(a2k2+b2)x2 +2a2kmx+a2(m2-b2)=0,
则,化简得m2 =a2k2+b2;
(Ⅱ)
法1:
令坐标,则Q令AB方程
O到AB的距离,,
∵P点坐标满足,
∴Q到AB的距离
∴(当 时取等号)
∴
法2:
因点与点关于原点对称,故=2
所以当时,取到最大值,此时,
从而原点到直线的距离,
又,故.
再由(I),得,则.
又,故,即,
从而,即.
四、教学效果反馈
在平时教学过程中,笔者尝试用上面的解题策略引导学生思考,取得了一定的成效。比如学生所参加的温州二模考试,也有多个同学第一小题取得满分,该题的平均分接近市平均分。
(2019.2温州二模) 如图,A为椭圆的下顶点,过A的直线交抛物线于B,C两点,C是AB的中点。
求证:点C的纵坐标是定值;
解:
方法1:,设,则
代入抛物线方程得:
得:
为定值
方法2:设AB方程:
令C坐标,B坐标
代入得:
则又
得
为定值
方法3:设AB方程:
令C坐标,B坐标
代入得:
则
因为C为AB中点,,化简得
所以C纵坐标或-1(舍去),为定值。
结语
其实圆锥曲线并不可怕,只要你掌握一些套路,积累一定的解题经验,归纳解题方法,多去算一算,圆锥曲线的问题就能够迎刃而解了。
参考文献
[1]2017年4月浙江省普通高中学业水平考试数学试题
[2]2018学年第一学期浙南名校联盟期末考试(高三数学试题)
[3]2019年2月份温州市普通高中高考适应性测试(数学试题)