正定二次型在实际中的应用

摘 要：二次型的理论及其性质是线性代数的主要内容之一，二次型的理论及其应用及其广泛，其中正定二次型又是二次型中一类重要的二次型，有着非常重要的理论和实用价值。在文【1】中，简介了二次型及其在实际中的应用，在文【2】中，浅析探讨了正定二次型的理论及其性质，而在文【3】中重点探讨了正定二次型及其在最优化方法中的应用。文【4】中主要是研讨了正定二次型在高等代数中的应用。为使读者能够比较全面的深入了解，正确清晰的理解和掌握正定二次型的理论及其应用，本文主要是针对正定二次型在几何，最小二乘法及其物理力学等实际中的一些应用作一些简介。如有不当之处，欢迎读者给予批评指正。

关键词：正定二次型;正定矩阵;最小二乘法;线性方程组

一、在解决二次曲线和二次曲面方程中的应用

二次型的理论探讨是从18世纪开始的，它的起源是对二次曲线和二次曲面

的分类问题的讨论，直到1858年，维尔斯托拉斯在他人研究的著作的基础上，不仅给出对同时化两个二次型成为平方和的一般的方法，而且还证明了，如果二次型是正定的，那么即使某些特征值相等，这个化简也是可能的。

如果，取的前行所构成的列向量，由范德蒙德行列式可知，的前行所构成的列向量线性无关，从而，相应“接长”的维列向量也线性无关。因此，对于任意的，必有，这时，故为正定矩阵。综上所述，为正定矩阵的充分必要条件是：。

四、在物理力学问题中的应用.

由于在物理力学问题中，经常需要同时将两个二次型转化为标准型来实现，这是正定二次型在物理力学问题中应用中很重要的一个问题.

定理 设是阶正定矩阵，是阶实对矩阵，则必存在阶非奇异矩阵，使得其中为对角阵.

证明：因为是正定矩阵，所以存在阶非奇异矩阵，使得，令，显然仍为实对称矩阵，所以存在阶正交矩阵，使得.取，则为阶非奇异矩阵，且有

另外正定二次型在研究系统的稳定性、广义重积分、物理学电阻器功率的消耗等方面都有廣泛的应用.由于篇幅所限，这里就不在累赘了。

参考文献

[1] 杨付贵.二次型及其在实际中的应用[J].科教导刊

[2] 杨付贵.正定二次型及其性质的探讨[J].科教导刊

[3] 杨付贵.正定二次型及其在最优化中的应用[J].科教导刊

[4] 杨付贵.正定二次型及其在高等代数中的应用[J].科教导刊

[5] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003.

[6] 张禾瑞.郝鈵新.高等代数（第三版）[M].北京：高等教育出版社，1984.

[7] 陈宝林.最优化理论与算法[M].北京：清华大学出版社，2005.

[8] 王燕军.最优化理论与方法[M].上海：复旦大学出版社，2005.

作者简介：杨付贵（1957.5）男，天津人，副教授。从事最优化方法研究。