关传平
【摘要】如果说灯塔是茫茫大海中的一抹亮光,那么解题方向就是浩瀚题海中的成功向导,方向是解题之本,是解题路上的星辰,引导我们沿着正确的道路前行。所谓解题的大方向,就是从总体上化难为易、从混沌到有序、拉近条件和结论等。在把握大方向的前提下,再探寻并确定具体的解题方法。
【关键字】数学 解题
【中图分类号】G633.6【文献标识码】A【文章编号】1992-7711(2020)08-157-01
方向一:化难为易、化繁为简
例1已知函数 , 对任意的 都有 的图像在 图像的上方,求m的取值范围。
解析:因为对任意的 都有 的图像在
图像的上方,所以 ,对 恒成立,即m< ex-xlnx对 恒成立,令 = ex-xlnx ,则只需求p(x)在 上的最小值即可,转化成求最值问题,最值问题是高中阶段学生非常熟悉的问题,从而实现了化难为易、化繁为简的目的。这也是我们经常说的熟悉化原则,就是把不熟悉的知识和问题转化为教材上或大家熟知的知识和问题,或者转化成解题者曾经解答过的问题。现在 处理 = ex-xlnx在
的最小值,根据解析式的特点,应该想到导数法,则 = ex-lnx-1,如何判断 的符号,常规的方法是继续求导,求导 = 后在 上的值有正有負, 有增有减,仍然不易确定 的符号,会陷入复杂的运算当中。现在我们另辟捷径,不等式ex≥x+1(x=0时取等号)和lnx≤x-1(x=1时取等号)是高中阶段学生需要掌握的两个重要的结论,所以在区间 上有:ex≥x+1>x>lnx+1,所以ex>lnx+1(这里是给出解题的方向,解答题使用时需要写出简单地证明),即p'(x)= ex-lnx-1>0,p(x)在
上单调递增,所以 p(x)>p( )=e - ln = e+ ln3,故得:m≤ e+ ln3.复杂问题简单化,是数学永远追求的主题,这就要求我们解题时,要朝着简化的大方向前行,才能速战速决。
方向二:从混沌到有序
例2已知关于x的函数f(x)=4-a- (a∈R) 的定义域为D,存在区间[m,n]? D,f(x)的值域也是[m,n],当a变化时,试求n-m的最大值。
解析:本题求n-m的最值,而[m,n]只不过是定义域的一个子区间,恰好又是值域,解析式里面又含a,很难求出结果,使问题处于混沌状态,思路不清,方向不明,怎么办?下面让我们理顺一下,弄清问题的来龙去脉,从条件入手,先研究f(x)的性质:f(x)=4-a- (a∈R)的定义域D=(-∞,0)∪(0,+∞),a=0时显然不满足题意,则f(x)的单调性(-∞,0),(0,+∞)是在上单调递增。由题意[m,n] ? D,则0?[m,n],且m 因此满足: ,也即是 , 问题分析到此处,让我们关注问题解决的目标,题意中给出的是当a变化时,求n-m的最值,上面已经找到它们之间的关系,于是用a表示n-m即可,所以 n-m=(m+n)2-4mn=(4-a)2-4· a2= -8a2-8a+16 = -8(a+ )+18