数形结合思想在导数解题方面的巧妙运用

葛秀平

【摘要】本文探究了2019年全国高考导数压轴题分别用数形结合思想解决问题的方法，结合图像，解题方法更简洁、更具体、更便于学生理解和接受，而且让学生能更加直观感受数学压轴题的难度和数学中数形结合的美妙，体会如何多角度地思考和解决问题。同时也对数学老师课堂教学提出一点建议：在平时的课堂讲题及训练中，多渗透数形结合思想。

【关键词】数形结合;2019;高考;数学;导数;零点

美国数学家斯蒂恩说：“如果一个特定的问题可以被转化为一个图形，那么思想就整体地把握了问题，并且能创造性地思索出问题的解法。” 在中学数学课程中，数形结合思想是数学教学内容的主线之一，利用数形结合，即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而实现优化解题的目的。

一、用数形结合思想对两道导数压轴题新解法的探究

例1：（2019年全国Ⅰ卷·文）已知函数f（x）=2sinx-xcosx-x，f'（x）是f（x）的导数。

（1）证明：在区间存在唯一零点;

（2）若时，ax，求a的取值范围。

分析：这是一个关于三角函数与导数问题，探究函数的单调性与零点问题。

【探究1】在第一问的讲解过程中，若加入图像，会更直观地看到零点的存在。

由前面解析已知在单调递增，单调递减，，，画出在的图像如下图：

【探究2】本题的第二问，用分离变量结合图像的方法做会更加简洁明了。

解：（2）已知当x=0时，f（x）=f（0）=0，ax=0，因此满足ax;

当时，因为x>0，可将ax转化为，这是一个恒成立问题。只需证，因此问题转化为求的最小值。

当时，，在单调递增;

当时，，在单调递减;

在，，又，画出图像：

在存在，使得t（xo）=0;

且在，，即;在，，即;

h（x）在上单调递增，在上单调递减;

当时，;

又，画出在上图像，如下图：

在的最小值为.

.

【探究3】在第二问中，也可以把里的x移到右边，得到直线y=（a+1）x，由此只需要的图像在直线y=（a+1）x上方。

解：（2）ax，即ax，等价转化为，令，.

则，，在上，，单调递增;

在上，，单调递减;

又，且图像在连续，所以存在，使得，在上，，在上，，图像如下：

在上单调递增，在上单调递减;又，

在同一直角坐标系中，做出和直线（恒过原点），图像如下图所示：

由图像可知，要使在上恒成立，只需直线y=ax的斜率，即.

【探究4】类比方法三可以得到更加简洁的方法。 基于第一问得到的结论，本题的第二问，可再换一种思路，将y=ax看成一个新的函数，ax，即的图像在y=ax的上方。

解：（2）由（1）可知在上的图像如下图，在上存在唯一零点，设为.

f（x）在单调递增，在单调递减，且，做出在上图像，再作出直线y=ax图像，如下图：

由图像可知，要使ax在上恒成立，只需直线y=ax的斜率.

小结：通过对上述四种方法的比较分析，很容易看出方法四可以借助于第一问的结论，再通过完美的数形结合，过程最简洁，巧妙的解决了高考压轴题。在平时的上课过程中，有意识的融入数形结合可以很好的锻炼学生的思维。

例2：（2019年全国Ⅰ卷·理）已知函数f（x）=sinx-in（1+x），f'（x）为f（x）的导数.证明：

（1）f'（x）在区间（-1，）存在

唯一极大值点;

（2）f（x）有且仅有2个零点.

分析：2019年理科这道导数压轴题和文科一样，考查函数单调性与零点问题。

【探究5】同上题一样，若在第一问的讲解过程中，加入函数图像，能使学生更直观的看出导数的正负，从而判断函数的单调性，画出函数图像，看到零点的存在。

（1）解：，，

因为，所以，

，在单调递减，

又，

在的大致图像如下图所示：

所以，当时，;当时，.

f（x）在单调递增，在单调递减，

f（x）在存在唯一极大值点.

【探究6】：第二问要证有两个零点，即的解的个数。

即，画出及y=的图像，

因为时，，可以猜想这两个零点应该一个为0，一个在内。

以上结论属于合情推理，在猜想的基础上再去证明有两个零点就容易许多。

定义域，

当时，由（1）知在单调递增，在单调递减，其中

又，，画出在上大致图像如下：

由图像可知存在，

当时，，单调递减;

当时，，单调递增;

当时，，单调递减。

又，

图像如下图所示：

所以在上存在一个零点0.

当时，，所以，

在（）单调递减， ，

在上存在一个零点。

当时，，所以恒成立，即在上不存在零点，

综上所述，存在两个零点。

小结：本题的第二问设置了一个探索问题情境，先通过图像的方法，经过合情推理，猜想零点的范围，然后再通过严密的逻辑推理证明零点的存在，综合性很强。

二、结论

通过对2019年高考文理科数学的两道导数压轴题在解题方法和数学思想方法上的分析可以看出，这2道导数题目都考查了利用导数研究函数的单调性，从而解決零点问题。并且数形结合思想，函数与方程思想在题目中都有融入。导数是高中数学的难点，数学老师在课上应尽量多的结合图象讲解导数问题，降低难度，便于学生理解。

参考文献：

[1]王树禾.数学思想史[M].国防工业出版社，2003.

[2]王宪昌.数学思维方法[M].人民教育出版社，2002.