复变函数与积分变换的混合式教学设计分析

孙晓云 郭志鹏

摘要：本文针对复变函数与积分变换教学中存在的主要问题，提出了课程的线上线下混合式教学设计方案，并研究了混合式教学效果，提出了改进措施。

关键词：复变函数;积分变换;混合式教学

复变函数与积分变换是工科数学基础课，主要为电气工程、自动化、通信工程等相关专业学生开设，为学生学习自动控制原理、电磁场、信号处理等专业课打下数学基础。虽然复变函数与积分变换与工程结合紧密、实用性较强，但课程理论多难度大、学时紧张导致课堂节奏快，一部分学生学习有困难。传统课堂模式教师只能在课堂上讲一遍，学生有不懂的地方不能重复听课，有问题也不方便和老师及时沟通，这些教与学的突出问题在互联网时代有望得到彻底解决。

美国人萨尔曼·可汗从2004年起陆续将自己录制的课程视频放在Youtube上供全世界的人免费学习，并于2009年创立了可汗学院。可汗的视频课程是最早的大规模在线开放课程，即MOOC. 2012年起，MOOC开始在全世界范围内大规模兴起[1]，但随着MOOC资源的大量增加，多位学者基于各MOOC平台统计数据研究指出MOOC的完成率在5%-10%之间[1]，因此教师在课堂中的监督作用及学生共同学习的促进作用对于学生的学习效果尤为重要。于是很多高校教师开始利用已有的MOOC资源，对学生建立小规模限制性课堂，即SPOC，结合线上与线下优势开展混合式教学的探索与实践。

混合式教学具有线上和线下的双重优势。在线上，学生观看课程视频并做适当的习题检验学习效果，对于不懂的知识点可以反复观看课程视频，有针对性地解决个体问题。在线下的课堂上，教师可以主要讲解知识点的作用、联系及重难点，从而有更多时间和学生互动，了解学生的学习情况。

国内众多学者研究了混合式教学的理论和设想，其中李逢庆[2]研究了混合式教学的理论基础并构建了ADDIE教学设计模型。徐兴波[3]提出了基于混合式教学的复变函数与积分变换课程教学改革的设想，目前针对复变函数与积分变换课程混合式教学法的理论和实践研究较少。本论文基于作者在复变函数与积分变换课程中开展混合式教学的实践和经验进行研究总结，针对线上和线下部分提出了具体的教学设计方案、教学效果研究及改进措施。

一、复变函数与积分变换混合式教学设计

（一） 线上教学设计

1. MOOC选取。我们选取了中国大学MOOC平台上华中科技大学李红教授团队的国家精品课“复变函数与积分变换”。该慕课授课信息量较大，教学水平较高，比较适合学生学习。

2. 教师在线上的辅助教学

（1） 教师在课前将视频任务发送给学生，学生自主安排时间学习。

（2） 利用超星泛雅平台建立课程，在课前将本节的学习内容以思维导图的形式发给学生，帮助学生明确本节涉及到的重难点及每个知识点的作用，使得学生在观看视频的过程中更有效率。

（3） 教师通过超星泛雅平台向学生发放基础难度的习题，学生观看视频结束后可以及时检验自己的学习效果。超星泛雅平台上可以实时统计学生的学习数据统计，教师可以随时掌握学生的学习进度，及时督促落后的学生完成学习内容。

（二） 线下教学设计

1. 教师的线下教学。学生在课前已经学习了线上视频课程，但视频课是基于知识点制作的，形式偏碎片化，缺少知识点在课程中的作用和与其他知识点的联系，这些需要教师在课上进行补充讲解。在线下的课堂教学中，教师先串讲下本节课程的概念由来、知识点之间的联系，再着重讲解重点和难点，及时回答学生针对课程内容和课前习题提出的问题。接下来通过超星学习通发给学生适当增加难度的习题，并在课上及时获得学生的反馈，帮助学生及时发现问题、掌握知识。

2. 学生之间的合作学习。为了增强学生的学习动力和积极性，教师引导学生进行合作学习。我们采用类似医疗系统的分级诊疗模式，即教师-组长-组员的结构。教师相当于三甲医院，解决学生普遍存在的难点问题，组长相当于社区医院，能够及时解决学生在学习中遇到的小问题。具体实施方法为学生按照6-8人一组组成学习小组，每组指定两名组长，所有的组长和教师建一个QQ群。两个组长首先针对课程内容的难点进行讨论研究，然后汇总组内同学的问题并答疑，如果不能及时解决会上传到QQ群中寻求同学和老师的帮助。采用合作学习的模式提升了教师给学生答疑的效率，对于课时和学生较多的教师很有帮助。

3. 作业互评。高校基础数学课通常每个教学班学生较多，教师在批改作业时不能面面俱到，学生对于自己作业存在的问题往往不能及时掌握。教师在学生合作学习的基础上引入作业互评解决上述问题。每次作业提交后教师将标准答案发给学生，学生在组长的组织下进行组内作业互评，每份作业签上评阅人和组长的名字，并上传到班級QQ群。由于每个小组成员需要批阅组内同学的作业，这种无形的压力激发了学生的责任感，进而显著提升了学习的动力和积极性。为了避免个别同学投机取巧，教师采取随机抽查的方式检查作业互评的情况，并在授课时及时在班级进行公布。

二、复变函数与积分变换的混合式教学效果

（一）增强学生主动学习的积极性和自信心

由于学生可以自主选择学习视频课程的时间，还可以及时在学习小组内讨论遇到的问题，学生具有自我掌控感，学习的积极性普遍提高。教师在课前和课上对习题的难度逐渐加大，学生在课前做简单题目时

可以树立学习的自信心，课上提高难度的习题可以激发学生的挑战欲，挑战成功后又进一步增强了学生的自信心。

（二）提高学生的表达能力、逻辑思维能力和合作能力

通过合作学习，学生之间增加了交流，对于问题的合理表述和探索正确的解答方式帮助学生理清思维，锻炼了表达能力，提高了逻辑思维能力。组内成员之间的相互帮助增强了学生的分享精神，提高了合作能力。

（三） 培养学生的创新思维能力

学生在提高自主学习能力的同时，合作学习方式可以使学生能观察到其他同学的思维方式并认识到自己思维的盲区，有利于互相取长补短，产生思维碰撞的火花，教师再进行适当的引导可以培养学生的创新能力。比如学生们根据复变函数的与高等数学中的类比，可以自己得出复变函数的积分概念和性质;由高等数学的幂级数定义和阿贝尔定理确定收敛区间可以得出复变幂级数的定义和收敛域。这样的思维方式可以更进一步将数学应用到其他学科的学习以及生活中，又是本课程学习目的的延伸。

三 复变函数与积分变换混合式教学的改进措施

（一）高效学习方法的运用

本课程的研究对象是复变函数，较之实变函数比较抽象难懂，学生普遍反映学习起来比较困难。在教学中，教师采用类比和比喻的方法[6]展开教学，比如将高等数学中的极限、连续、导数、积分、级数概念进行类比易于学生理解;将积分变换比喻成小品中的猪变香肠，逆变换比喻成香肠变猪，在引发学生开心一笑的同时也帮助学生很好地理解了相关概念的本质。

（二）进一步优化习题的分级策略

要想帮助学生学得好，首先要让学生喜欢学，喜欢学的前提是有信心学好，可以通过逐级增加习题难度来达到相应效果。在课前视频环节设置低难度习题帮助学生树立信心，在课上通过精心安排逐渐提高难度帮助学生进一步搞清重点和难点。

参考文献：

[1] PAPPANO L. The year of the MOOC[J]. The New York times， 2012-11-04（26）.

[2]李逢庆.混合式教学的理论基础与教学设计[J]. 现代教育技术， 2016 （9）： 18-24.

[3] 徐兴波 . 浅谈基于混合式教学的复变函数与积分变换教学改革 [J]. 教育现代化，2018，5（01）：89-91，104.

[4] 李红，谢松法.复变函数与积分变换[M].北京：高等教育出版社，2008：59-65.

[5] 包革军，邢宇明，盖云英.復变函数与积分变换[M].北京：科学技术出版社，2013：94-121.

[6] Scott Young. 如何高效学习. 程冕，译[M]. 北京：机械工业出版社，2013：86-92.

作者简介：

孙晓云（1981—），女，辽宁沈阳人，讲师，硕士，从事博弈论研究;

郭志鹏（1981—），通讯作者，男，山西晋城人，讲师，硕士，从事计算数学研究。