最优控制问题数值方法研究分析

摘 要：微分方程最优控制在科学和工程中具有广泛的应用背景，它的数值求解方法一直是近年来非常活跃的研究分支。对该问题的提出和研究意义进行了阐述，对国内外研究现状和发展动态做了分析，并且总结了几个需要解决的关键科学问题。

关键词：最优控制;数值方法;研究展望

1 研究背景和意义

偏微分方程最优控制问题作为一个非常活跃的研究分支，在实际工程领域与计算科学领域都有着广泛的应用，例如，在液体流、大气流、电磁场以及放射热源和激光技术等许多方面都需要借助流体最优控制模型来分析和解决实际问题。许多实际应用问题，例如，癌症治疗过程中的热处理、低温超导激光能量的爆破和混凝土大坝的最优温度控制，都涉及求解偏微分方程描述的最优控制问题。这类问题需要求解一个目标泛函的最小值，并且目标泛函中的控制变量要满足偏微分方程描述的某个物理过程和一些其他约束条件。该问题是无穷维空间的求最优解问题，不能用计算机精确求解，为了准确而快速求解这类问题，数值计算方法的研究就变得特别重要。随着人工智能的迅速发展，偏微分方程最优控制在人工智能领域也扮演了重要角色。如何利用已有的算法和理论，构造更加高效简便的数值计算方法或研发数值计算软件，应用到生物医药、人工智能、工业制造等也是亟待解决的问题。

为了准确且高效地求解偏微分方程最优控制问题，计算数学领域学者们对该类问题数值方法的研究显得尤为重要。关于最优控制问题数值方法的研究已经取得了一批有意义的工作，但是，在如何构造高精度的数值格式方面的研究还相对较少，特别是针对复杂几何区域问题或界面问题。快速高效的数值方法由于其能大大提高计算精度和计算效率等优点，具有重要的理论价值和更加实际的意义[1]。

2 研究现状和发展动态分析

自从Lions对偏微分方程最优控制问题做出开创性理论，此类问题的计算方法成为了大量计算数学学者的研究热点问题。目前对PDE最优控制问题的数值求解思路主要有兩种：第一种是先优化后离散，即先利用Lagrange乘子方法推导出最优控制问题的最优性条件，这个最优性条件包含状态方程、伴随方程和变分不等式，由于最优性条件是无穷维的，然后需采用一定的数值方法（如：有限元方法、有限体积元方法和谱方法等）进行离散，变成有限维的数值计算问题;第二种思路是先离散后优化，即先利用数值离散方法对原最优控制问题（目标泛函、控制方程和约束条件）进行离散，得到离散的最优控制问题，然后再利用优化算法逼近最优解。不论上面两种方法选哪种，数值离散都是不可缺少的，因此好的离散方法对求出最优解是至关重要的。针对偏微分方程最优控制问题，数值方法的研究主要围绕优化算法、离散、先验和后验误差估计这几个方面，并且出现了许多的研究成果，相关理论和误差估计如文献[2]所示。与控制无约束的最优控制问题相比，控制带约束（如逐点约束，不等式约束和积分约束）的最优控制问题，其理论分析和计算方法都更为复杂和困难，一些学者进行了超收敛方法研究，并对积分型带约束椭圆最优控制问题，得到了有限元最优误差估计和超收敛分析。对于带间断系数的最优控制问题，相关的文献很少[3]。Apel[4]考虑了带间断系数的椭圆分布控制问题，其中的扩散系数在不同的Lipschitz区域取值不同。为了避免界面处收敛阶的损失，采用了分级网格方法。文献[3]采用了浸入有限元方法处理界面。对抛物型最优控制问题的研究，研究工作者考虑了具有逐点约束的全离散有限元逼近。关于抛物最优控制的半离散混合有限元逼近，还有学者利用RTO有限元逼近状态变量、分片常数逼近最优控制，并进行了误差估计。随后出现了线性和半线性抛物最优控制问题全离散混合有限元方法，关于具有逐点控制约束和积分控制约束的线性、半线性抛物方程及双曲方程最优控制问题的相关研究随后也出现了很多[5]。

针对流体控制问题，从有限元方法出发，许多学者做了探索，提出了各种各样的高精度离散格式，例如非协调有限元方法[6]、自适应有限元方法和混合有限元方法等。刘文斌等人给出了Stoke方程分布最优控制问题的后验误差估计，为自适应有限元方法求解流体控制问题铺平了道路。陈燕萍等人采用勒让德伽略金方法数值求解Stoke方程分布控制问题，通过选择适当的流速和压力的离散空间，使得离散方程组的系数矩阵系数，对流体控制问题谱方法分析的超收敛性研究有着重要的参考价值。

带有界面的最优控制问题也一直是计算数学家研究的热点问题之一。目前，比较青睐的做法是使用与界面无关的网格来离散。在对计算区域进行剖分时，网格不需要拟合界面，即，允许界面穿过剖分单元的内部，这在文献中经常称为非拟合网格，例如最简单的一致网格。利用这种网格求解流体界面问题有很多优点，比如说，网格的生成很简单，即使对于几何形状非常复杂的界面也不需要花费大量的时间来生成网格;如果界面随着时间移动，不需要对每一时间层重新生成网格，极大地减少了算法的复杂度和计算时间。浸入边界方法将一个具有几何形状复杂且不停跳动的心脏模拟放到一个矩形盒中，利用Dirac delta函数作为源分布取代原来复杂的边界条件。浸入边界方法虽然简单、具有鲁棒性，但它是一个正则化的方法，只有一阶精度。围绕提高浸入边界方法的精度，不少学者做了很多的研究工作。Lin等人[7]针对稳态二维Stokes界面问题提出了基于间断Galerkin的矩形Q1/Q0浸入界面有限元方法。该方法把速度和压力联合在一起，通过耦合的界面跳跃条件构造浸入界面有限元空间。这也意味着，离散空间里的速度和压力也是耦合在一起的，这增加了程序实现的难度。该方法的稳定性和最优收敛精度只是通过数值实验去说明，其理论证明目前还欠缺。接着，Lin等人[8]利用该方法求解了带有移动界面的二维Stokes问题。该方法的稳定性、收敛性、以及如何推广到三维Stokes、Navier-Stokes界面问题还有待研究。

3 研究展望

仍然有很多待解决的关键问题：（1）最优控制问题求解区域为环形域时，有限体积方法中传统的一致网格使得计算代价太昂贵，构造一个合适的计算网格，用最小的代价取得预期的计算精度是求解过程中比较关键的一个问题。（2）对于边界控制问题，最优控制的正则性降低，限制了我们使用有限元空间的多项式次数，为了得到整体超收敛的结果，采用一定的插值后处理技巧是比较关键的问题。（3）由于系数在界面处产生间断，偏微分方程最优控制问题的解跨过界面上有跳跃，而且其导数也不连续，在构造计算网格时，允许界面穿过某些单元的内部，这样如果在这些单元上面还用传统的多项式函数去逼近，则逼近效果不好，甚至会出现错误。如何在这些单元上构造出好的逼近函数是需要解决的关键问题之一。（4）如果考虑非稳态且界面移动的情形，那么温度场在时间方向上也存在着跳跃。在离散时间导数的时候，如果使用传统的时间离散方法，比如说Crank-Nicolson格式，那么离散精度会损失，甚至不能得到正确的结果。如何修正传统的Crank-Nicolson格式，使得精度不损失也是需要解决的关键问题。

参考文献：

[1]龚伟，刘会坡，严宁宁.最优控制问题的有限元高精度分析及其应用——献给林群教授80华诞[J].中国科学：数学，2015，45（7）：953-974.

[2]F.Trltzsch.Optimal control of partial differential equations：theory，methods，and applications，volume 112.American Mathematical Soc.，2010.

[3]张倩.几类PDE约束最优控制问题的数值方法研究[D].南京师范大学，2016.

[4]T.Apel and D.Sirch.A priori mesh grading for distributed optimal control problems.In Constrained Optimization and Optimal Control for Partial Dif-ferential Equations，pages 377-389.Springer，2012.

[5]蘇梦雅.椭圆偏微分方程分布与Neumann边界控制约束问题的有限体积元方法[D].南京师范大学，2019.

[6]覃燕梅，李辉，冯民富.Navier-Stoke方程最优控制问题的一种非协调有限元局部稳定化方法[J].应用数学和力学，2016，037（008）：842-855.

[7]S.Adjerid，N.Chaabane，L.Lin.An immersed discontinuous finite element method for Stokes interface problems，Comput.Methods Appl.Mech.Engrg.，2015，293，170-190.

[8]S.Adjerid，N.Chaabane，L.Lin，and P.Yue.An immersed discontinuous finite element method for the Stokes problem with a moving interface，J.Comput.Appl.Math.，2019，362，540-559.

作者简介：张倩（1988—），女，汉族，河南中牟县人，博士，讲师，研究方向：偏微分方程数值解。