导数概念的教学设计

谌凤霞 陈娟

摘 要：导数是微分学中重要的核心概念，其产生的背景深刻且应用广泛。基于“以学为中心”的教学要求，通过问题导入、启发探究、应用举例、知识总结、课后巩固等设计环节，调动了学生在已有知识的基础上，主动探索新知识的信心，引导学生自主探究掌握知识，激发学生学习热情。

关键词：导数的概念;教学设计

《高等数学》是我校工科类、管理类本科专业必修的一门公共基础课程。本课程的培养目标是通过高等数学基本概念、基本理论及基本运算的学习使学生具有分析、解决专业中实际问题的能力，从而培养学生主动探索、勇于发现的科学精神。“导数的概念”在《高等数学》课程的学习中起到贯穿始终、承上启下的作用。

本次课依据专业需求教高数、技术发展教方法、学生志趣改手段，采用灵活多样的教学方法，通过任务驱动引入教学内容，案例式教学、参与式教学实施教学内容，结合网络平台完成知识的传授、内化和升级，这种教学模式，营造了学生想学、乐学的教学氛围。在学习方法上，注重培养学生自主学习、合作探究、总结反思三种能力，使学生从“我学会”转变成“我会学”。

导数是微分学中重要的核心概念，其产生的背景深刻且应用广泛。本次课设计的重点是如何把导数产生的背景、广泛的应用、抽象的概念和厚重的历史文化有机地融合并渗透到德育和智育中去。为此，本节课引导学生在日常生活中乘坐高铁时观察到的两个细节入手，采用问题驱动模式，运用极限方法开展探究。让学生经历提出问题，分析问题和解决问题的全过程，培养学生的观察能力、抽象概括能力、分析问题和解决问题的能力。通过不同背景问题共性的概括，导数概念的产生自然是水到渠成。

一、创设情境、导入新课

函数是高等數学研究的主要对象。在第一章我们用极限方法研究了函数的连续性。这一章我们继续使用极限方法给出研究函数的一个有力工具。请同学们看一个短视频，短片中飞驰的高铁是我国创新能力的标志性成果，也是我国向世界递出的一张靓丽的名片。

短片中两个细节引起的问题值得同学们的思考。第一个是电子屏清晰地显示了高铁在变速行驶中每个时刻的速度，这个瞬时速度怎样求出来的？第二个问题，当高铁驶入弯道时，为保持高铁的平稳运行，弯道的设计会涉及到求曲线的切线斜率，这个切线斜率又如何求解呢？

设计意图：通过精心设计的视频短片，使学生联系实际，吸引学生注意力，激发学生解决问题的积极性。

1、 瞬时速度

设质点做变速直线运动，其位置函数为s=f（t），时刻t0处的位置为f（t0），怎样求t0时的瞬时速度呢？

我们现在不会求瞬时速度，因为这是个速度是变化的，但同学们会求平均速度。为此，再取一个时刻t，就可计算出从t0到t时间间隔内的平均速度，即

当所取的时间间隔很小时，用平均速度近似代替t0时的瞬时速度。 若所取的时间间隔越小，则这个平均速度就越接近t0时的瞬时速度。让t无限地趋近t0 ，若平均速度的极限存在，大家看，这个极限值就是什么？ 对，就是高铁在t0时的瞬时速度。

2、切线的斜率

当点N沿曲线C无限接近于点M（动画演示切线形成过程）。割线MN的极限位置就是曲线C在点M处的切线。

当点N沿曲线C无限接近于点M时，则有x→x0。对割线MN的斜率，取x→x0时的极限，若极限存在，则该极限值就是切线MT的斜率。

设计意图：通过对两个引例的解释，帮助学生思考解决问题的关键与方法途径，为新课的学习做好铺垫。

二、启发探究、揭示本质

回顾这两个问题，这两个问题有什么共性呢？

对，虽然这两个问题的背景不同，但从数学上看二者本质却是相同的，都归结为函数在一点处的改变量和自变量改变量之商的极限。这个商的分子是函数值之差，分母是自变量之差，所以这种形式的极限也称为差商的极限。我们就把这种差商的极限抽象出来，上升为数学上的概念，就是导数的定义。

三、应用举例、巩固概念

例1 求函数y=x2在点x=2处的导数。

例2 求函数y=sinx在点x=1处的导数。

选择了简单而具有代表性的两个例子，采用板书推导，严格给出解答步骤，培养学生规范解题与书写的能力。让同学们讨论如何判断函数在一点是否可导？并讨论总结出求函数导数的一般步骤。让同学们知道导数的定义式既可用于判定又可用于计算，加深对课程内容的理解。

四、知识拓展、提升技能

（1）如何定义函数f（x）在闭区间 [a， b]上可导呢？

（2）函数f（x）在一点处可导与在这点处有切线是什么关系？函数连续与可导的关系？

（3）导数的几何意义。

五、知识总结、深化学习

（1）通过思维导图的动画形式对本课主要内容和知识点进行总结，形式有趣，更容易达到教学效果。

（2）本课课后，在课堂派上发布课后作业，通过作业为掌握导数的基本公式做好准备。

（3）思考问题：求函数y=sinx，y=logax的导数，老师和同学们在课堂派中交流讨论。课后巩固过关，对作业及时批阅和针对性的辅导。

本节课使用了信息化教学手段，使得课堂上信息来源变得丰富多彩;采用翻转课堂教学模式，使学生带着准备进入课堂，成为学习过程的中心，主动的参与课堂教学，全面提高课堂的互动;创设学生感兴趣的学习情境，引导学生自主探究掌握知识，激发学生学习热情;教学环节，环环相扣，层层递进，成功将学生留在了课堂;任务驱动、小组合作相结合突破教学重难点，真正实现了做中学、做中教、教学做合一。

[参考文献]

[1]《高等数学》——百度百科.

[2]冯颖. 常数项级数的微课教学设计，高等数学研究. 2017， 20（3）.

（作者单位：广东科技学院，广东 东莞 523000）