用好参数方程与极坐标不容忽视的三个角度

◇ 袁 野 梁海龙

坐标系是联系几何与代数的桥梁，是数形结合的有力工具，借助它可以使数与形相互转化．极坐标系是对直角坐标系的补充与延伸，极坐标方程有助于建立距离与角度的关系．参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的另一种表示形式．根据曲线的特点，选取适当的曲线方程的表示形式，可以体现解决问题中数学方法的灵活性，可以启发和引导同学们形成数学思维．要学好参数方程与极坐标方程，就要理解每种具体曲线的极坐标方程与参数方程的几何意义．本文通过例题从以下三个角度阐述如何用好参数方程与极坐标方程．

1 方程转化的等价性

例1在平面直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为为 参 数)，若 以 该 直 角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N的极坐标方程为(其中t为常数)．

(1)若曲线N与曲线M有2个不同的公共点，求t的取值范围；

(2)当t＝－2时，求曲线M上的点与曲线N上的点的最小距离．

错解(1)因为曲线M的参数方程为为参数)，所以x2＝1＋sin2β＝1＋y，故曲线M的直角坐标方程为y＝x2－1．又因为则ρsinθ＋ρcosθ＝t(其中t为常数)，所以曲线N在直角坐标系下的方程为x＋y＝t，联立方程则由Δ＞0，解得

(2)当t＝－2时，有x＋y＋2＝0，由(1)知，当t＝直线x＋y－t＝0与M相切，故求曲线M上的点与曲线N上的点的最小距离为

错因分析错误在于忽视了变量转化中的等价性．

正解(1)因为曲线M的参数方程为为参数)，所以x2＝1＋sin2β＝则x∈故曲线M的直角坐标方程为y＝x2－1

因为曲线N与曲线M有2个不同的公共点，所以联立方程则在上有2个不同的零点，故则因此t的范围为

(2)当t＝－2时，直线N:x＋y＋2＝0．

极坐标、直角坐标以及直角坐标下的参数方程是对同一曲线不同形式的表达，有着不同的变量，转化过程中一定要明确每一步代换的等价性．

2 曲线参数方程与极坐标方程的意义

例2在直角坐标系xOy中，直线l的斜率为1且过点M(－2，－4)．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为

(1)当a＝1时，求曲线C的直角坐标方程；

(2)设 曲 线C与 直 线l交 于A，B两 点，若求a的值．

错解(1)C:ρsin2θ－2acosθ＝0，则ρ2sin2θ－2aρcosθ＝0，所以y2＝2ax．当a＝1时，曲线C的方程为y2＝2x．

(2)设直线l的参数方程为为参数)，设A，B的参数分别为t1，t2，将l的参数方程代入y2＝2ax，得t2－(8＋2a)t＋16＋4a＝0，t1＋t2＝8＋2a，t1t2＝16＋4a，由|AB|2＝40，得(t1－t2)2＝40，化简得a2＋4a－10＝0，解得又因为a＞0，所以

错因分析该解法错误在于第(2)问，错因主要有两点:1)错用直线参数方程；2)设而不求，没有检验解的合理性．

正解(2)设直线l的参数方程为为参数)，设A，B的参数 分别为t1，t2，将l的参数方程代入y2＝2ax，得

由|AB|2＝40，得(t1－t2)2＝40，化简得a2＋4a－5＝0，解得a＝－5或1，又因为a＞0，所以a＝1，经检验当a＝1时，方程①中Δ＞0成立．

直线的参数方程可以理解为直线l的方向向量为过定点M(x0，y0)，直线上任意一点此时直线l的参数方程为为参数)，此时|t|表示|MP|的长度，也就是说|t|表示|MP|的长度一个重要的前提是方向向量为单位向量．

例3已知椭圆，直线l交椭圆于A，B两点，且OA⊥OB，求证为定值．

错解1椭圆的参数方程为为 参数)，由图形的对称性，不妨设A，B点对应的参数分别为错解2由椭圆的极坐标方程为由图形的对称性，不妨设A，B点对应的极角分别为

以上两种做法均无法证明该例题．

错因分析错解1中错误在于使用了参数方程中θ角的几何意义，θ不是偏转角，而是离心角．错解2中错误在于使用了左焦点为极点的椭圆极坐标方程．两个错误均是对椭圆极坐标方程和参数方程几何意义认识不清造成的．

正解以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，可得椭圆的极坐标方程为由图形的对称性，不妨设A，B点对应的极角分别为．则

理解曲线不同的方程所代表的几何意义是合理使用参数方程与极坐标的基础．

3 平面几何知识的运用

例4以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知曲线C1的参数方程为为参数，且α∈[0，π])，曲线C2的极坐标方程为ρ＝－2sinθ．

(1)求C1的极坐标方程与C2的直角坐标方程；

(2)若P是C1上任意一点，过点P的直线l交C2于点M，N，求|PM|·|PN|的取值范围．

(2)思路1以直角坐标为中介，将各种曲线转化为更为熟悉的直角坐标方程来解决．

解法1设P(x0，y0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，当直线l斜率存在时，设l的直线方程为y＝k(xx0)＋y0，联立方程得

当直线l斜率不存在时，|PM|·|PN|＝1＋2y0(0≤y0≤1)，所以1≤|PM|·|PN|≤3．

思路2借助直线的参数方程，由直线参数方程中参数的几何意义解题．

解法2设P(x0，y0)，设直线l的倾斜角为β，则l的参数方程为为 参 数)，M，N对应的参数分别为t1，t2．

将l的参数方程代入C2的直角坐标方程，得由l的参数方程的几何意义可知

图1

思路3分析几何特点，借助几何特征简化运算．

解法3如图1所示，过圆C2的 圆 心C2作C2D垂 直 于PN，垂足为D．由垂径定理和DM＝DN，

又因为2≤|PC2|2≤4，所以1≤|PM|·|PN|≤3．

本题的第(2)问的3种不同思路，都体现出了转化思想，虽然思路1与思路2借助不同的方程形式都可以解决问题，但思路3借助几何性质能更加快速地解决问题，起到事半功倍的效果．